К натуральному числу прибавили сумму его цифр и получили сум

[Гость]

К натуральному числу прибавили сумму его цифр и получили сумму квадратов его цифр. Найдите все такие числа и докажите, что других нет.

[Kreativshik]

Пусть десятичная запись числа [tex]n[/tex] состоит из цифр [tex]a_k, a_{k-1}, \dots, a_1, a_0[/tex] ([tex]a_k \neq 0[/tex]). Тогда [tex]n = \sum_{i=0}^k a_i 10^i[/tex], [tex]S = \sum_{i=0}^k a_i[/tex], [tex]Q = \sum_{i=0}^k a_i^2[/tex]. Условие [tex]n + S = Q[/tex] принимает вид [tex]\sum_{i=0}^k (a_i 10^i + a_i - a_i^2) = 0[/tex]. Обозначим [tex]T_i = a_i(10^i + 1 - a_i)[/tex].

Для [tex]i = 0[/tex] имеем [tex]T_0 = a_0(2 - a_0)[/tex], что отрицательно лишь при [tex]a_0 \ge 3[/tex], минимум [tex]-63[/tex] при [tex]a_0 = 9[/tex]. Для [tex]i \ge 1[/tex] величина [tex]10^i + 1 - a_i \ge 2[/tex], поэтому [tex]T_i \ge 0[/tex], причём если [tex]a_i > 0[/tex], то [tex]T_i > 0[/tex]. При [tex]k \ge 2[/tex] имеем [tex]T_k \ge 1 \cdot (100 + 1 - 9) = 92[/tex], и сумма всех [tex]T_i[/tex] положительна. Следовательно, [tex]n[/tex] может быть только одно- или двузначным.

Однозначное число: [tex]T_0 = 0[/tex] даёт [tex]a_0 = 0[/tex] или [tex]a_0 = 2[/tex]. Натуральное число [tex]n = 2[/tex]. Проверка: [tex]2 + 2 = 4[/tex], [tex]2^2 = 4[/tex].

Двузначное число: [tex]n = 10a_1 + a_0[/tex], [tex]a_1 \in \{1,\dots,9\}[/tex], [tex]a_0 \in \{0,\dots,9\}[/tex]. Уравнение [tex]T_1 + T_0 = 0[/tex] приводит к [tex]a_0(a_0 - 2) = a_1(11 - a_1)[/tex]. Левая часть при [tex]a_0 \ge 3[/tex] принимает значения [tex]\{3, 8, 15, 24, 35, 48, 63\}[/tex]. Правая часть при [tex]a_1 \in \{1,\dots,9\}[/tex] принимает значения [tex]\{10, 18, 24, 28, 30, 30, 28, 24, 18\}[/tex]. Совпадение [tex]24[/tex] достигается при [tex]a_0 = 6[/tex] и [tex]a_1 = 3[/tex] (число [tex]36[/tex]) либо при [tex]a_1 = 8[/tex] (число [tex]86[/tex]). Проверка: [tex]36 + (3+6) = 45[/tex], [tex]3^2 + 6^2 = 45[/tex]; [tex]86 + (8+6) = 100[/tex], [tex]8^2 + 6^2 = 100[/tex].

Ответ: [tex]2, 36, 86[/tex].