Произведение, в 71 раз превышающее сумму

[Гость]

Найдите три различных простых числа, произведение которых в 71 раз больше их суммы. Сколько всего решений имеет эта задача?

[Kreativshik]

Пусть [tex]p, q, r[/tex] - искомые простые числа. Тогда [tex]p \cdot q \cdot r = 71 \cdot (p+q+r)[/tex]. Поскольку 71 - простое, одно из чисел равно 71; положим [tex]r=71[/tex]. После сокращения имеем [tex]p \cdot q = p+q+71[/tex], что преобразуется в [tex](p-1)(q-1)=72[/tex]. Рассматривая разложения 72 на два натуральных множителя и проверяя, чтобы [tex]p=a+1[/tex] и [tex]q=b+1[/tex] были простыми и различными, находим подходящие пары: [tex](2,73)[/tex], [tex](3,37)[/tex], [tex](5,19)[/tex], [tex](7,13)[/tex]. Каждая пара вместе с 71 образует набор из трёх различных простых чисел. Всего 4 решения.