Как расставить знаки?⁠

[Гость]

В строчку выписаны N чисел: N, N-1, ... 1. Требуется расставить между ними знаки "+", "--" и "=" так, чтобы все получившиеся равенства были верными. Докажите, что при любом натуральном N>2, задача имеет решение.

[Prorab]

Доказательство.

Рассмотрим два случая.

1. N чётное

Пусть [tex]N = 2k[/tex], [tex]k \ge 2[/tex] (так как [tex]N > 2[/tex]).

Расставим знаки следующим образом:

[tex]2k - (2k-1) = (2k-2) - (2k-3) = \dots = 2 - 1.[/tex]

Пояснение.
Все числа разбиты на пары:
[tex](2k, 2k-1)[/tex], [tex](2k-2, 2k-3)[/tex], [tex]\dots[/tex], [tex](2, 1)[/tex].
Внутри каждой пары поставлен знак [tex]-[/tex], между парами — знак [tex]=[/tex].

Каждая пара имеет вид [tex]2m - (2m-1) = 1[/tex].
Таким образом, каждое из [tex]k[/tex] выражений равно [tex]1[/tex], и все равенства верны.
Все числа использованы.

2. N нечётное

Пусть [tex]N = 2k + 1[/tex], [tex]k \ge 1[/tex] (так как [tex]N > 2[/tex]).

Расставим знаки:

[tex](2k+1) - (2k) = (2k-1) - (2k-2) = \dots = 3 - 2 = 1.[/tex]

Пояснение.
Первые [tex]2k[/tex] чисел разбиты на пары:
[tex](2k+1, 2k)[/tex], [tex](2k-1, 2k-2)[/tex], [tex]\dots[/tex], [tex](3, 2)[/tex].
Внутри каждой пары — знак [tex]-[/tex], между парами — знак [tex]=[/tex].
После последней пары [tex]3 - 2[/tex] ставим знак [tex]=[/tex] и дописываем последнее число [tex]1[/tex].

Всего получается [tex]k + 1[/tex] выражение:
первые [tex]k[/tex] выражений имеют вид [tex](2m+1) - (2m) = 1[/tex], последнее выражение — это просто число [tex]1[/tex].
Каждое выражение равно [tex]1[/tex], поэтому все равенства верны.
Все числа использованы.

Заключение.

Для любого натурального [tex]N > 2[/tex] предъявлена явная расстановка знаков, удовлетворяющая условию.
Утверждение доказано.

[Гость]

Большое спасибо!