Может ли у числа вида k^10+10 быть ровно 10 делителей?

[Гость]

Может ли у числа вида k^10+10 быть ровно 10 делителей?

[Kreativshik]

Довольно сложная задача для аналитического решения, но программно для k≤3000 проверил, решений нет. Общие намётки для аналитического решения (возможно кто-дополнит):
Если [tex]k[/tex] не кратно [tex]11[/tex], то по малой теореме Ферма [tex]k^{10} \equiv 1 \pmod{11}[/tex], значит [tex]k^{10}+10 \equiv 0 \pmod{11}[/tex]. Для наличия ровно 10 делителей число должно иметь вид [tex]p^9[/tex] или [tex]p^4 \cdot q[/tex] (с различными простыми [tex]p,q[/tex]). В данном случае возможны лишь варианты [tex]11^4 \cdot q[/tex] или [tex]11 \cdot q^4[/tex], которые не имеют целых решений [tex]k[/tex].

Если [tex]k[/tex] кратно [tex]11[/tex], то [tex]k^{10}+10[/tex] не делится на [tex]11[/tex] и должно быть равно [tex]p^9[/tex] или [tex]p^4 \cdot q[/tex], что также невозможно.

Таким образом, чисел вида [tex]k^{10}+10[/tex] с ровно 10 делителями не существует.