Найдите все соломенные числа и докажите, что других нет⁠

[Гость]

Назовём натуральное число соломенным, если оно равно сумме своих цифр и факториалов своих цифр.

Найдите все соломенные числа и докажите, что других нет.

[Prorab]

Таких чисел нет. Потому что сумма факториалов цифр растёт быстрее, чем само число при увеличении количества цифр или значения цифр, и точное равенство невозможно из-за несоответствия порядков.

[Kreativshik]

[tex]85837=8+5+8+3+7+8!+5!+8!+3!+7![/tex]
[tex]408297=4+0+8+2+9+7+4!+0!+8!+2!+9!+7![/tex]

[Kreativshik]

сумма факториалов цифр растёт быстрее, чем само число при увеличении количества цифр или значения цифр,

Абсолютно не верно!
Максимальная сумма факториалов для [tex]n[/tex]-значного числа растет линейно: [tex]S_{\max} = n \cdot 9! = 362880n[/tex]. Само же число растет экспоненциально: минимальное [tex]n[/tex]-значное число равно [tex]10^{n-1}[/tex]. Начиная с [tex]n=8[/tex], число уже гарантированно больше максимально возможной суммы: [tex]8*9!<10^{7}[/tex]