У числа n^2+n-1 сумма цифр равна n. Найдите все такие числа

[Гость]

У числа n^2+n-1 сумма цифр равна n. Найдите все такие числа и докажите, что других нет.

[Kreativshik]

1,8,10,19

[Kreativshik]

Доказательство :
Рассмотрим задачу: найти все натуральные числа [tex]n[/tex], для которых сумма цифр числа [tex]n^2+n-1[/tex] равна [tex]n[/tex]. Обозначим [tex]S(x)[/tex] сумму цифр числа [tex]x[/tex] в десятичной записи. Требуется решить уравнение [tex]S(n^2+n-1)=n[/tex].

Оценка возможных значений [tex]n[/tex].
Пусть [tex]n[/tex] имеет [tex]d[/tex] цифр, тогда [tex]10^{d-1}\le n\le 10^d-1[/tex]. Для числа [tex]n^2+n-1[/tex] верно
[tex]n^2+n-1 \le (10^d-1)^2+(10^d-1)-1 = 10^{2d}-10^d-1 < 10^{2d},[/tex]
поэтому оно содержит не более [tex]2d[/tex] цифр. Сумма цифр не превосходит [tex]9[/tex] умноженное на количество цифр:
[tex]S(n^2+n-1)\le 9\cdot 2d = 18d.[/tex]
По условию эта сумма равна [tex]n[/tex], значит [tex]n\le 18d[/tex]. С другой стороны [tex]n\ge 10^{d-1}[/tex]. Получаем
[tex]10^{d-1}\le 18d.[/tex]
Проверим возможные [tex]d[/tex]:
- [tex]d=1[/tex]: [tex]10^0=1\le 18[/tex] — верно;
- [tex]d=2[/tex]: [tex]10^1=10\le 36[/tex] — верно;
- [tex]d=3[/tex]: [tex]10^2=100\le 54[/tex] — неверно; при [tex]d\ge 3[/tex] левая часть растёт быстрее, поэтому неравенство не выполняется.
Следовательно, [tex]d[/tex] может быть только 1 или 2.
Перебор значений.
Если [tex]d=1[/tex], то [tex]n[/tex] от 1 до 9. Если [tex]d=2[/tex], то из [tex]n\le 18d=36[/tex] получаем [tex]n[/tex] от 10 до 36.

Вычислим [tex]n^2+n-1[/tex] и его сумму цифр для всех [tex]n=1,\dots,36[/tex]:

[tex]\begin{array}{c|c|c}
n & n^2+n-1 & S(n^2+n-1) \\ \hline
1 & 1 & 1 \\
2 & 5 & 5 \\
3 & 11 & 2 \\
4 & 19 & 10 \\
5 & 29 & 11 \\
6 & 41 & 5 \\
7 & 55 & 10 \\
8 & 71 & 8 \\
9 & 89 & 17 \\
10 & 109 & 10 \\
11 & 131 & 5 \\
12 & 155 & 11 \\
13 & 181 & 10 \\
14 & 209 & 11 \\
15 & 239 & 14 \\
16 & 271 & 10 \\
17 & 305 & 8 \\
18 & 341 & 8 \\
19 & 379 & 19 \\
20 & 419 & 14 \\
21 & 461 & 11 \\
22 & 505 & 10 \\
23 & 551 & 11 \\
24 & 599 & 23 \\
25 & 649 & 19 \\
26 & 701 & 8 \\
27 & 755 & 17 \\
28 & 811 & 10 \\
29 & 869 & 23 \\
30 & 929 & 20 \\
31 & 991 & 19 \\
32 & 1055 & 11 \\
33 & 1121 & 5 \\
34 & 1189 & 19 \\
35 & 1259 & 17 \\
36 & 1331 & 8
\end{array}[/tex]

Совпадение [tex]S=n[/tex] наблюдается при [tex]n=1,\ 8,\ 10,\ 19[/tex].

Ответ: [tex]n=1,\ 8,\ 10,\ 19[/tex]. Других чисел нет.