Числа, НОК которых равно квадрату их разности

[Гость]

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите какие-нибудь два десятизначных числа, наименьшее общее кратное которых равно квадрату их разности.

[Kreativshik]

Найдём два десятизначных числа, удовлетворяющих условию [tex]\operatorname{LCM}(a, b) = (a - b)^2[/tex]:

Пусть [tex]a > b[/tex] и [tex]d = a - b[/tex]. Обозначим [tex]g = \operatorname{GCD}(a, b)[/tex]. Тогда [tex]a = g x[/tex], [tex]b = g y[/tex], где [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] взаимно просты ([tex]\gcd(x, y) = 1[/tex]). Разность [tex]d = g(x - y)[/tex]. Подставим в условие:

[tex]\operatorname{LCM}(a, b) = \frac{a b}{g} = \frac{g x \cdot g y}{g} = g x y = d^2 = g^2 (x - y)^2.[/tex]

Сокращая на [tex]g[/tex] (положительное), получаем:

[tex]x y = g (x - y)^2.[/tex]

Так как [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] взаимно просты, то [tex]\gcd(x, x-y) = \gcd(x, y) = 1[/tex] и аналогично [tex]\gcd(y, x-y) = 1[/tex]. Следовательно, [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] не имеют общих простых множителей с [tex](x-y)^2[/tex]. Тогда из равенства [tex]x y = g (x-y)^2[/tex] следует, что [tex](x-y)^2[/tex] должно равняться 1 (иначе левая часть, не содержащая множителей [tex]x-y[/tex], не могла бы равняться правой, содержащей такой квадрат, если только [tex]g[/tex] не содержит их, но [tex]g[/tex] целое, и [tex]x y[/tex] взаимно просто с [tex](x-y)^2[/tex], значит, [tex](x-y)^2 = 1[/tex] и [tex]g = x y[/tex]).

Таким образом, [tex]x - y = 1[/tex] (положительная разность). Тогда [tex]x = y + 1[/tex] и [tex]g = y(y+1)[/tex].

Получаем параметризацию:
[tex]a = g x = y (y+1)^2, \quad b = g y = y^2 (y+1).[/tex]
Разность [tex]d = g = y(y+1)[/tex], и действительно [tex]\operatorname{LCM}(a, b) = \frac{a b}{g} = y^2 (y+1)^2 = d^2[/tex].

Чтобы [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] были десятизначными (от [tex]10^9[/tex] до [tex]10^{10}-1[/tex]), подберём [tex]y[/tex]. Возьмём [tex]y = 1000[/tex]:
[tex]a = 1000 \cdot 1001^2 = 1000 \cdot 1002001 = 1\,002\,001\,000,[/tex]
[tex]b = 1000^2 \cdot 1001 = 1\,000\,000 \cdot 1001 = 1\,001\,000\,000.[/tex]
Оба числа десятизначные. Их разность [tex]d = 1000 \cdot 1001 = 1\,001\,000[/tex], квадрат разности [tex]d^2 = (1\,001\,000)^2 = 1\,002\,001\,000\,000[/tex], что совпадает с наименьшим общим кратным.

Таким образом, искомые числа: [tex]a = 1\,002\,001\,000[/tex] и [tex]b = 1\,001\,000\,000[/tex].

[Гость]

Большое спасибо!