Докажите, что в турнире была хоть одна ничья

[Гость]

В турнире по крестикам-ноликам за победу даётся 1 очко, за ничью — 0 очков, а за проигрыш одно очко вычитается. Несколько школьников сыграли турнир по крестикам-ноликам так, что каждый с каждым сыграл ровно один раз. Один из участников набрал 7 очков, а другой — 20 очков. Докажите, что в турнире была хоть одна ничья.

(Санкт-Петербургская Математическая Олимпиада. 1992)

[Andy]

В турнире по крестикам-ноликам за победу даётся 1 очко, за ничью — 0 очков, а за проигрыш одно очко вычитается. Несколько школьников сыграли турнир по крестикам-ноликам так, что каждый с каждым сыграл ровно один раз. Один из участников набрал 7 очков, а другой — 20 очков. Докажите, что в турнире была хоть одна ничья.

Количество О очков, набранных участником, равно разности количества В выигранных партий и количества П проигранных партий. Предположим, что в турнире не было ничьих. Тогда количество И игр участника равно сумме количеств В и П.

Присвоим нижние индексы "1" и "2" количествам, относящимся к первому и второму участникам соответственно.

О1=7 -- нечётное число. Значит, В1 и П1 -- числа разных чётностей, И1 -- нечётное число.

О2=20 -- чётное число. Значит, В2 и П2 -- числа одной чётности, И2 -- чётное число.

Должно быть И1=И2. Но это не так. Значит, предположение о том, что в турнире не было ничьих, неверное, и в турнире была хоть одна ничья.