Задача с ответом "42"

[Гость]

Представляю на ваш суд задачу, придуманную целенамеренно (как говорит телеведущая Олеся Лосева) для получения ответа "42".

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, сколько существует семизначных чисел, не содержащих 0 в своей десятичной записи и обладающих следующим свойством: как ни переставляй цифры этого числа, получится семизначное число, кратное 12.

[Kreativshik]

Число делится на 12, [tex]\Rightarrow[/tex] оно кратно 3 и 4.
Число делится на четыре, если чило , образованное последними двумя цифрами, делится на 4..
Т. К. после перестановок кратность 4 сохраняется, значит число состоит из цифр 4 и 8.
Допустим в искомом числе имеется [tex]k[/tex] четвёрок и [tex]7-k[/tex] восьмёрок, тогда сумма цифр в искомом числе:
[tex]S=4k+8(7-k)=56-4k[/tex]
т. к [tex]56 \equiv \ 2 \ ( mod \ 3)[/tex] то
[tex]k \equiv \ 2 \ (mod \ 3)[/tex], а это либо 5, либо 2.
Следовательно в искомом числе либо 2 четвёрки, и тогда таких чисел [tex]{7\choose 2}[/tex]
Либо 5 четверок и тогда таких чисел [tex]{7 \choose 5}[/tex],
Т. О. всего таких чисел :
[tex]{7 \choose 2}[/tex]+[tex]{7 \choose 5}= 2*\frac{7!}{5!*2!}= \frac{7!}{5!}=6*7=42[/tex]