n!+(n+1)!+72

[Гость]

Найдите все такие целые неотрицательные числа n, при которых значение выражения n!+(n+1)!+72 является точной степенью (выше первой) натурального числа.

Докажите, что других таких n нет.

[Kreativshik]

Существуют [tex]n=4[/tex] и [tex]n=6[/tex]
Докажим что иных [tex]n≥7[/tex] не существует.
Имеем [tex]F(n)=n!+(n+1)!+72=n! (n+2)+72[/tex]
так же [tex]F(n)= a^{k }[/tex] [tex]a \in N, k≥2[/tex]
Для [tex]n≥6 \\\\ υ_{2 } F(n)=3[/tex]
таким образом [tex]k*υ_{2 }a=3[/tex] следовательно [tex]F(n)-[/tex]это полный куб, однако [tex]F(n) \equiv \ 2 \ (mod\ 7)[/tex], но кубы по модулю 7 принимают значения [tex]0,1,6[/tex]. Противоречие. Ч. Т. Д.