Найти вместимость сосуда

[Гость]

Из сосуда со спиртом отлили один литр спирта и долили сосуд водой. Затем отлили один литр смеси и долили литр воды и т. д. После 20 переливаний в сосуде оказался спирт крепостью 40°. Найти вместимость сосуда.

[Гость]

Рассмотрим задачу пошагово. Пусть вместимость сосуда — ( V ) литров.

На каждом шаге:

1. Отливают **1 литр** жидкости (спирт или смесь).
2. Доливают **1 литр воды**.

Каждый раз отливается **1 литр смеси**, которая содержит спирт и воду. При этом доливается **чистая вода**, и объем снова становится V .

---

Обозначим:

* $S_n $ — количество **спирта** в сосуде после ( n ) шагов.
* Начально: $ S_0 = V$ (в сосуде был чистый спирт).

На каждом шаге:

* Концентрация спирта в сосуде: $ \frac{S_{n-1}}{V} $.
* Значит, при отливании 1 литра уходит $ \frac{S_{n-1}}{V}$ литров спирта.
* Остается: $ S_n = S_{n-1} - \frac{S_{n-1}}{V} = S_{n-1} \left(1 - \frac{1}{V}\right)$.

Итак, рекурсия:
$S_n = S_{n-1} \left(1 - \frac{1}{V}\right)$
или, развернуто:
$S_n = V \left(1 - \frac{1}{V}\right)^n$

---

По условию, после 20 переливаний крепость стала **40°**, то есть:

$\frac{S_{20}}{V} = 0.4$

Подставим выражение для $S_{20}$:

$\frac{V \left(1 - \frac{1}{V}\right)^{20}}{V} = 0.4 \Rightarrow \left(1 - \frac{1}{V}\right)^{20} = 0.4$

Решим это уравнение:

$\left(1 - \frac{1}{V}\right)^{20} = 0.4 \Rightarrow 1 - \frac{1}{V} = 0.4^{1/20}\Rightarrow \frac{1}{V} = 1 - 0.4^{1/20}\Rightarrow V = \frac{1}{1 - 0.4^{1/20}}$

Теперь считаем $0.4^{1/20}$.

---

### Приблизительные вычисления:

$\log_{10}(0.4) \approx -0.39794 \Rightarrow \frac{\log_{10}(0.4)}{20} \approx -0.019897\Rightarrow 10^{-0.019897} \approx 0.954$

Итак:

$1 - \frac{1}{V} \approx 0.954 \Rightarrow \frac{1}{V} \approx 0.046 \Rightarrow V \approx \frac{1}{0.046} \approx 21.74$

---

### Ответ:

$\boxed{V \approx 21.7 \text{ литра}}$

[Гость]

Я получил ответ 33,(3) литров .

[Kreativshik]

[tex]\frac{1}{1- \sqrt[20]{0.4} }[/tex]≈22.33