Сколько пятизначных чисел, делящихся на 4?

[Гость]

Сколько пятизначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1,2,3,5, если требовать, чтобы каждая из этих цифр встретилась хотя бы раз?

[Kreativshik]

Чтобы пятизначное число делилось на четыре, необходимо чтобы число образованное последними двумя цифрами было кратно 4.
Т. К. наше число состоит из цифр {1,2,3,5}, то пятизначное число должно оканчиваться на 12, 32 либо 52.
Если пятизначное число оканчивается на 12, то первые три цифры должны содержать хотя бы одну 3 и хотя бы одну 5.
Всего троек из цифр {1,2,3,5}: [tex]4^{3 }=64[/tex]
Без цифры 3: [tex]3^{3}=27[/tex]
Без цифры 5: [tex]3^{3}=27[/tex]
Без цифр 3 и 5: [tex]2^{3}=8[/tex]
По формуле включений исключений:
[tex]64-27-27+8=18[/tex]
Аналогично для чисел оканчивающихся на 32 и 52,.
В итоге, количество пятизначных чисел удовлетворяющих условию:
[tex]18+18+18=54[/tex]

[ivashenko]

Только числа оканчивающиеся на 12,32,52 делится на 4.

Возьмем цифры 1,3,5 и выпишем следующим образом все их перестановки и припишем в конце каждой 2:
{1,3},5,2
{1,5},3,2
{3,1},5,2
{3,5},1,2
{5,1},3,2
{5,3},1,2

Обратим внимание, что у перестановок:
{1,3},5,2 и {3,1},5,2;
{1,5},3,2 и {5,1},3,2;
{3,5},1,2 и {5,3},1,2 одинаковые окончания и одинаковые цифры в скобках. Т.е. одна перестановка получается перестановкой цифр в скобках из другой. Поэтому отбросим 3 перестановки и оставим:
{1,3},5,2
{1,5},3,2
{3,5},1,2
Теперь в каждую скобку будем добавлять каждую цифру 1,3,5,2 и смотреть сколько перестановок возможно.
Например при добавлении в скобку {1,3} цифры 1 возможно 3 перестановки, аналогично в скобку {1,5}, а в скобку {3,5} уже возможно 6 перестановок, т.к. нет дублей. Итого при добавлении в каждую из 3-х скобок 1 возможно 12 перестановок в этих скобках. Также 12 перестановок возможно при добавлении 3 и еще 12 при добавлении 5, а при добавлении 2 в каждую из этих скобок возможно 6+6+6=18 перестановок, т.к. у двойки нет дублей ни в одной скобке. Итого возможно 12+12+12+18=54 числа, которые будут делиться на 4.