Помогите доказать, что АВ+АС > АМ + АN

[Гость]

В треугольнике АВС на стороне ВС отметили точки М и N так что ВМ = MN = NC. Докажите, что AB + AC > AM + AN.

[Гость]

Здесь достаточно дважды применить свойство медианы: медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключена.

Так как [tex]BM = MN[/tex], точка [tex]M[/tex] — середина [tex]BN[/tex], то есть [tex]AM[/tex] — медиана треугольника [tex]ABN[/tex]:
[tex]AM < \frac{AB + AN}{2}[/tex]

Так как [tex]MN = NC[/tex], точка [tex]N[/tex] — середина [tex]MC[/tex], то есть [tex]AN[/tex] — медиана треугольника [tex]AMC[/tex]:
[tex]AN < \frac{AM + AC}{2}[/tex]

Сложим оба неравенства:
[tex]AM + AN < \frac{AB + AC + AM + AN}{2}[/tex]

[tex]2(AM + AN) < AB + AC + AM + AN[/tex]

[tex]AM + AN < AB + AC[/tex]