информацию кажется лучше всего «упаковывать» в додекаэдр.
С топологической "кочки зрения" ДОДЕКАЭДР - это "правильный многогранник, гомеоморфный 2D-сфере", который рассматривается в Евклидовой ГЕО-метрии как СУММА площадей его 12 граней, так ведь?!
ОБЪЁМ (3D) в поверхность (2D) никак "упаковываться" не может (по определению)!
То есть, ОБЪЁМ всех Платоновых Тел в данном случае общей формулой НЕ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ, а в ТОПО-логии поверхностей говорится о ГОМЕОМОРФИЗМЕ ФИГУР, что не следует путать с КОНГРУЭНТНОСТЬЮ ФИГУР!
Возьмём (для примера) такую ЗАМКНУТУЮ фигуру как ОБРУЧ (от бочки или от колеса - для топологии НЕ ВАЖНО). Если её развернуть на плоскость (2D) как ЛЕНТУ, то её площадь можно определить (изМЕРить) двумя расстояниями - длиной ленты "a" и шириной ленты "b", а её площадь S будет соответствовать ПРОИЗВЕДЕНИЮ длины на ширину:
S = a x b. При этом толщина ленты "не имеет значения"...
И возьмём КРУГ (2D), у которого длина окружности равна длине этой замкнутой ленты. Площадь круга ЯВНО НЕ СООТВЕТСТВУЕТ площади ленты (даже по форме), потому что КРУГ и ОБРУЧ - это фигуры двух-МЕРНЫЕ, но НЕ ГОМЕОМОРФНЫ друг другу!
А вот все правильные МНОГО-гранники ГОМЕОМОРФНЫ двух-МЕРНОЙ СФЕРЕ (2D), но никаких "кубических" измерений при этом не подразумевается!
В формулировке Эйлера это обобщение гласит:
"
Для ВСЯКОГО многогранника, поверхности которого гомеоморфны СФЕРЕ, а каждая грань гомеоморфна КРУГУ, справедливо соотношение:
В - Р + Г = 2, где
В - число вершин многогранника,
Р - число его рёбер,
Г - число граней.
Но
это относится только к двух-МЕРНЫМ фигурам, то есть утверждать. что (якобы) ДОДЕКАЭДР можно рассматривать как топологическую МОДЕЛЬ ВСЕЛЕННОЙ - слишком "преждевременно" и не соответствует действительности! ... Пуанкаре говорил именно
о ТРЁХМЕРНОЙ СФЕРЕ, а не о "многогранной", а Гриша Перельман это уже
доказал математически! Более наглядо такую ОБЪЁМНУЮ (но не кубическую) СФЕРУ можно наблюдать как атмо-СФЕРУ ЗЕМЛИ, которая ограничена с одной стороны поверхностью океанов и континентов, а с другой - космическим БЕЗ-воздушным пространством...
Топологически - это "та же сфера", упакованная в другую сферу большего размера... Проще говоря, третьим измерением для вычисления ОБЪЁМА 3D-сферы является ТОЛСТЫЙ СЛОЙ (толщина) воздушной облочки планеты Земля... А в качестве наглядной МОДЕЛИ можно даже СШИТЬ трёхмерную сферу из 4 кусков МАТЕРИИ... Каждый такой кусок - это выпуклый треугольник, гомеоморфный кругу, и имеющий ТОЛЩИНУ материи, из которой будет сделана такая МОДЕЛЬ... Обячный футбольный мячик или воздушный шарик - это тоже 3D-сфера, но при этом её ОБЪЁМ - это именно сама оболочка (материал), объём которой можно вычислить как ПРОИЗВЕДЕНИЕ площади поверхности (2D) на толщину (1D)... При этом у трёхмерной сферы нет никаких граней, вершин и рёбер!