Выпуклый многоугольник

[Гость]

Помогите, пожалуйста, решить задачу:

Доказать, что вписанный четырехугольник ABCD является выпуклым,
если его вершины А и С лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей диагональ BD.

[Гость]

Попробую сам (автор вопроса) предложить решение.

ABCD это четырехугольник значит сумма его углов буде равна 180*(n-2)= 180*(4-2)= 360 градусов.

Углы BAD и BCD - это 2 вписанных угла, вершины которых лежат по разные стороны от BD.
Поэтому их сумма равна 180 градуса. Т.е. каждый из них по отдельности меньше 180 градусов.
Значит на углы ADC и ABC в сумме тоже остается 180 градусов, т.е. каждый из них тоже меньше 180 градусов.


В итоге мы имеем четырехугольник у которого все углы меньше 180 градусов.

А в интернете я нашел такое определение выпуклого многоугольника.
Выпуклый многоугольник - это многоугольник без самопересечений, каждый внутренний угол которого не более 180°.

Наш многоугольник это четырехугольник.
Четырехугольник — это фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Т.е. мы имеем четырехугольник без самопересечений, все углы которого меньше 180 градусов.
А это по определению выпуклый многоугольник. ч.т.д.


Правильны ли мои рассуждения?
Может существует более простой способ решения этой задачи?

[Гость]

Дано:

вершины А и С лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей диагональ BD.

То есть, другая диагональ АС не лежит в одной "полуплоскости" с диагональю BD.
Следовательно, отрезки АС и ВD не являются пересекающимися. а являются СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ, причём диагональ BD является линией пересечения двух плоскостей и лежит на линии сгиба четырёх угольника АВСD.
Диагональ АС при этом будет ЛОМАНОЙ.

[Rados]

Такой "квадрат" можно изобразить на "седловой поверхности", а не на плоскости.
Тогда будет видно "невооружённым глазом", что диагональ АС не пересекается с диагональю BD в пространстве 3D.

[Гость]

Нет, это задача планиметрии.
И мне кажется, что как раз диагонали четырехугольника должны пересекаться.

[Rados]

диагонали четырехугольника должны пересекаться

Если ДОЛЖНЫ, то пусть пересекаются.
Тогда точка пересечения "0" будет лежать НА прямой BD - как бы на "образующей цилиндра", а диагональ АС будет "слегка выгнутой".
Такой квадрат (или ромб), действительно, получится ВЫПУКЛЫМ!
А т.н. "седловая поверхность" имеет кривизну второго порядка. То есть, если диагонали будут пересекаться в одной точке, то обе диагонали будут ПАРАБОЛАМИ.

[Гость]

Можно даже сделать такой "фокус" с листом Мёбиуса!
Вырежем из ОДНО-стороннего листа правильный четырёх-УГОЛЬНИК (например, синего цвета). А затем в ТРЁХ-мерном пространстве соединим углы этого квадрата в одной точке, не сгибая. Тогда диагонали соединятся ещё раз в одной точке и "превратятся в два пересекающихся ЭЛЛИПСА!
При этом "лист Мёбиуса" будет уже не ПЛОСКОЙ поверхностью (2D), а будет топологически "гомеоморфен" односторонней 2D-СФЕРЕ (синего цвета), а площадь такого "сферического квадрата" останется такой же!