Существует ли лемма или теорема о хорде окружности и стороне

[robert3d]

Здравствуйте. Существует ли лемма или теорема о хорде окружности и стороне правильного многоугольника, с помощью которой можно было бы проверить является ли случайно взятая хорда окружности стороной правильного многоугольника? Алгебраически можно проверить это если взять угол соответствующий этой хорде, затем разделить 360 градусов на этот угол и проверить получается ли целое число. Но меня интересует есть ли какие-то еще иные способы в геометрии проверить это без деления 360 градусов на угол и проверки на целое.

[Rados]

Такой леммы или теоремы не существует.
Соотношение хорды к длине дуги - число не постоянное , это не число "пи". А КРИВИЗНА дуги зависит от радиуса окружности.
Проще найти количество таких хорд, разделив 360 градусов на искомое количество сторон вписанного многоугольника.
Но при графическом построении таких многоугольников надо учитывать ДВА варианта - с чётным числом сторон более 4 и с нечётным числом сторон более 3.

Возможно к решению этой задачки подойдёт формула Гюйгенса: https://www.fxyz.ru/%D1%84%D0%BE%D1%80% ... %81%D0%B0/

[Гость]

Благодарю за ответ! А как относится к моей задаче Ваше утверждение:"Соотношение хорды к длине дуги - число не постоянное , это не число "пи". А КРИВИЗНА дуги зависит от радиуса окружности."?
Почему же нельзя сделать уравнение такое, что если хорда=a не является стороной правильного n-угольника, то и решений нет, а если является, то решение уравнения есть "n" Радиус описанной окружности "R" при этом также известен ?

[Rados]

Радиус описанной окружности "R" при этом также известен ?

Если известен радиус и длина хорды, то тогда это ДРУГАЯ ЗАДАЧА.
А если только длина хорды (то есть всего ДВЕ точки), то через эти две точки можно провести МНОЖЕСТВО других окружностей с неизвестным радиусом.
Поэтому в Вашей задаче сначала надо найти ТРЕТЬЮ точку на этой окружности.
Такой метод называется ТРИАНГУЛЯЦИЕЙ, и применяется не только на окружности (1D), но и на криволинейной поверхности (на сфере 2D).

[Гость]

Радиус описанной окружности "R" при этом также известен ?

Если известен радиус и длина хорды, то тогда это ДРУГАЯ ЗАДАЧА.
А если только длина хорды (то есть всего ДВЕ точки), то через эти две точки можно провести МНОЖЕСТВО других окружностей с неизвестным радиусом.
Поэтому в Вашей задаче сначала надо найти ТРЕТЬЮ точку на этой окружности.
Такой метод называется ТРИАНГУЛЯЦИЕЙ, и применяется не только на окружности (1D), но и на криволинейной поверхности (на сфере 2D).

Известны радиус - R, хорда - a. Как Вы предлагаете искать количество сторон правильного многоугольника - n, если он с такой хордой - а существует? Как это сделать без проверки на целое?

[Гость]

Радиус описанной окружности "R" при этом также известен ?

Если известен радиус и длина хорды, то тогда это ДРУГАЯ ЗАДАЧА.
А если только длина хорды (то есть всего ДВЕ точки), то через эти две точки можно провести МНОЖЕСТВО других окружностей с неизвестным радиусом.
Поэтому в Вашей задаче сначала надо найти ТРЕТЬЮ точку на этой окружности.
Такой метод называется ТРИАНГУЛЯЦИЕЙ, и применяется не только на окружности (1D), но и на криволинейной поверхности (на сфере 2D).

Как эту ТРИАНГУЛЯЦИЮ здесь можно применить? Третью точку найти, но где именно и для чего? Хорда - a и радиус - R известны.

[Rados]

Если известны хорда а и радиус R, то они образуют равнобедренный треугольник, так ведь?
Проводим ещё один радиус перпендикулярно к хорде - получаем прямоугольный треугольник с известным катетом = а/2 и известной гипотенузой = R. Находим по известной формуле синус угла, противолежащего к хорде. Потом по таблице синусов находим ЗНАЧЕНИЕ этого угла в градусах и умножаем на 2. Получаем значение ЦЕНТРАЛЬНОГО угла, опирающегося на хорду.
Это значение и будет РАВНО угловому значению дуги в градусах.
Делим 360 на это число градусов.
Если получается ЦЕЛОЕ число дуг, то это значит, что хорда "а" ЯВЛЯЕТСЯ стороной вписанного многоугольника.

Но это НЕ ЛЕММА и не теорема, а просто такой МЕТОД решения задачи.

[Гость]

Благодарю за пояснения но я бы хотел узнать можно ли вывести формулу, которая при известных хорда=a и радиусе=R давала значение n - количество сторон правильного n-угольника если он существует и нет решений если такого правильного n-угольника с такой хордой=a не существует при данном R. Чтобы все это работало без деления 360 на центральный угол и без проверки на целочисленность.

[Rados]

и без проверки на целочисленность.

Значение угла из таблицы Брадиса перенести в формулу?
Но там тоже нет никаких ЦЕЛО-численных значений. Если БЫ можно было вывести такую формулу, то её бы уже давно сочинил сам товарищ Брадис. И тогда была бы решена задача "Квартуры круга по формуле". При этом наверняка понадобится интегрирование множества точек многоугольника в заданную окружность.
В реальной практике такая задача почти не встречается.
Если известна длина хорды и радиус окружности, то можно сделать чертёж на листе бумаги (в определённом масштабе), и циркулем отмерить длину этой хорды СТОЛЬКО РАЗ - сколько впишется до другого конца этой хорды. Но это тоже будет некорректно, потому что фактически хорда НЕ ПЕРЕСЕКАЕТ окружность, а только "соприкасается" с внутренним диаметром окружности!
А если увеличить радиус, чтобы рассчитать количество сторон описанного многоугольника, то каждая такая сторона так же не будет пересекать окружность, а только соприкасаться какой-то точкой на середине стороны - с точкой на окружности.
То есть, фактически НЕТ ОБЩИХ ТОЧЕК у окружности и вписанного в неё многоугольника!

[Rados]

Можно попробовать немного изменить "исходные данные" в этой "головоломке".
Измерять ЛЮБОЕ число n не хордами, а ДУГАМИ - частями окружности. Тогда диаметр ЛЮБОЙ окружности относится к длине этой же окружности в таких ЦЕЛЫХ числах: 22/7.
То есть, не в любое число n таких дуг будет укладываться ТОЧНО весь диаметр (по прямой) . Но если диаметр как бы "выгнуть" по кривизне дуги, то его концы соединятся с концами хорды.
22 - угольник ВПИСЫВАЕТ точно!
А далее можно продолжать "дробить" это соотношение ЦЕЛЫМИ числами: 44/14 = 66/21 = 88/28 ... и тд.

Если решать обратную задачу, то ОПИСАТЬ окружность можно вокруг ЛЮБОГО правильного многоугольника! Для этого надо из середины каждой стороны провести перпендикуляры ВНУТРЬ этого многоугольника и найти т.н. "геометрический центр". Но тогда диаметр каждой такой окружности будет другой.

[Rados]

А если прямые отрезки имеют какую-то толщину (в реальности ведь так и есть?), то "по дуге" они как бы разрываются по наружной стороне окружности и накладываются друг на друга по внутренней! А ТОЧНО совпадают только "по оси", которая как бы не имеет никакой толщины...

[Rados]

Если делить дугу на градусы, а окружность на целое число дуг, то градусы тоже не получаются ЦЕЛЫМИ числами (модулями)!
Например, 354/16 = 22 дуги +1/8
А в десятичной системе пересчитывается в НЕцелое число n = 22, 125-угольник...
Если увеличить целое число дуг до 17, то получается: 374/17 = 22n, но тогда в диаметре получится НЕцелое число = 2 + 3/7
То есть, модуль деления дуг (в градусах) всё-равно не будет ТОЧНО совпадать с модулем деления диаметра на прямые отрезки.
А деление ЛЮБОГО целого числа в десятичной системе даёт ЦИКЛИЧЕСКОЕ число 142857142857142857142857 ...
Но ГЕОметрически построение 22 дуг ВОЗМОЖНО, если диаметр окружности разделить на 7 равных частей и согнуть его тоже "по дуге"!