Геометрия Пьера де Ферма

[Rados]

Графические построения Декарта и Ферма (чертежи) основаны на со-ОТНОШЕНИЯХ отрезков ПРЯМОЙ линии и отрезков ДУГИ.
При этом Ферма исследует только 1/4 часть ЗАМКНУТОЙ "дуги" и сравнивает соотношения ПРОЕКЦИЙ на прямую линию, ограниченную двумя точками на этой прямой. Оси координат (Х - Y - Z ) при этом пересекаются под ПРЯМЫМ УГЛОМ, который как бы ЗАДАН системой координат Декарата, а все дуги и окружности проведены циркулем НА ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ.
Известно, что угол, образованный двумя хордами и диаметром этой же окружности так же является ПРЯМЫМ УГЛОМ!
Это было известно ещё до Пифагора и Евклида.
Т.н. "египетский треугольник" со сторонами кратными 3 - 4 - 5 - это всегда ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ треугольник. Но если гипотенуза этого треугольника является ДИАМЕТРОМ = 5, то любые другие две стороны (как хорды этой же окружности) уже не будут иметь КРАТНЫЕ (целочисленные ) отношения к этому "модулю" = D.
А фрактальное подобие "обеспечивает" не прямоугольный, а РАВНОСТОРОННИЙ треугольник, который делится на 4 равных треугольника - бесконечное число РАЗ.
НО!!!
На такое "фрактальное" дробление треугольника способен только треугольник на ПЛОСКОЙ поверхности (2D). Ферма тоже показывает свои построения на плоскости XY координат Декарта. Но для такого же дробления на поверхности СФЕРЫ нужно использовать уже другие построения, основанные на методах сферической триангуляции.
Ещё сложнее такие построения выполнять в трёхмерном пространстве, если так же опираться на декартовы плоскости координат. Об этом уже давно "догадались" даже многие НЕматематики, например , известный на этом форуме Григорий Иванович Пивень, предлагающий в качестве "универсального измерителя" некий "конусный радиус Пивня".
Но ПОКАЗАТЬ его на чертежах он тоже не имеет "технических возможностей".
А вот если ИЗМЕНИТЬ направление осей координат Декарта, то достаточно всего 4 "направлений" - от центра сферы в разные стороны под углом 120 градусов, то тогда МОЖНО на поверхности сферы построить 4 выпуклых треугольника. На плоской поверхности такой треугольник можно вычертить без линейки - одним радиусом циркуля, последовательно отсекая ТРИ равных дуги.
Если вырезать такой треугольник из ткани, то можно даже сшить такой "мягкий мячик" из этих 4 треугольников разного цвета. При этом КАЖДЫЙ из этих треугольников будет соединяться (граничить) с ТРЕМЯ другими такими же треугольниками. И далее - увеличивая КРАТНО радиус, которым вычерчен исходный шаблон (выпуклый треугольник), можно построить следующую по величине сферу, площадь которой будет КРАТНА площади предыдущей сферы.
Очевидно, что "про это" догадался и Григорий Иванович, как бы МЫСЛЕННО соединив вершины всех этих увеличивающихся треугольников своим "конусным радиусом Пивня".
Такие построения "в натуре" уже применяются в Архитектуре т.н. КУПОЛЬНЫХ сооружений.
Купол (3D) в отличие от сферы (2D) имеет ДВЕ поверхности - наружную и внутреннюю, площади у которых НЕ РАВНЫ. А ОБЪЁМ между поверхностями купола вполне МАТЕРИАЛЕН и задаётся толщиной купола, то есть РАССТОЯНИЕМ МЕЖДУ внутренней и наружной поверхностью купола!
Вот этот ОБЪЁМ и называется (по Пуанкаре) - трёхМЕРНОЙ СФЕРОЙ (3D).
Если 3D-сферу "представить устно", то это "ШАР с пустотой внутри". Но при этом измеряется не объём пустоты ВНУТРИ ШАРА, а объём МАТЕРИАЛА из которого состоит этот шар! И не только шар, но даже какое-то ОБЛАКО неопределённой формы, что и доказал Григорий Перельман "чисто математически"... но тоже не смог "изобразить графически", то есть циркулем и линейкой...

[va.tlx]

Уважаемый Rados, мне не совсем понятен смысл Вашего замечания. Если Вы хотите поделиться идеей или что-то объяснить читателям моей статьи, напишите конкретно. Подвергать же геометрию Пьера де Ферма какому-то сравнительному анализу, пусть даже грамотному и красиво изложенному, вряд-ли имеет смысл на страницах этого форума. Тем более, что Ваши высказывания в отношении этой самой геометрии изначально ошибочны. Современная философия математики не рассматривает и не рекомендует рассматривать в своих основополагающих принципах математику в общем. У каждого народа и каждого времени была, есть и будет своя математика. Что же до Ферма, он, в качестве целевой установки для своей геометрии написал: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины (quantitates ignotae), налицо имеется место, и конец одной из них описывает прямую или же кривую линию... Для установления уравнений удобно расположить обе
неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин». Это и послужило началом неформальной связи между двумя мирами - миром чисел и их внутренних взаимоотношений, и миром графических объектов. Отсюда, а не с одной из четвертей декартовой системы координат, как Вы пишите, началась его аналитическая геометрия. Пьер де Ферма первый собрал "под одну крышу" разрозненную и регламентированную древними представлениями геометрию предков. Простенько и со вкусом! Думаю, изобрести колесо в свое время было не менее сложно, чем сейчас, скажем, сделать какое-то фундаментальное открытие в области космологии или теоретической физики. Я ознакомился со всеми Вашими работами на этом форуме и считаю, что Вы, как человек разносторонне образованный, все это хорошо понимаете.

[Rados]

Спасибо за ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ понимание моих представлений о СФЕРИЧЕСКОЙ геометрии, уважаемый Va.tix!
Но я нисколько не умаляю заслуг Пьера де Ферма в ЕГО понимании со-ОТНОШЕНИЙ между диаметром и хордами окружности - НА ПЛОСКОСТИ (в 2D)!
Просто я (как архитектор) давно интересуюсь конструированием ТРЁХМЕРНЫХ купольных конструкций и заметил "две большие разницы" между тригонометрией на плоскости и триангуляцией на сферической поверхности! В инженервно-строительной графике ДО СИХ ПОР используется только ДЕКАРТОВА система координат, в которой трёх-МЕРНЫЙ объём считается КУБАМИ. Но "по факту" объём купола измеряется совсем по-другому: площадь НАРУЖНОЙ поверхности (минус) площадь ВНУТРЕННЕЙ поверхности (умножают) на ТОЛЩИНУ такого проектируемого купола.
Примерно "о том же" пытается сформулировать свои гипотезы Григорий Иванович Пивень... Но безуспешно - именно потому, что также пытается "впихнуть" трёхмерные измерения в координатные ПЛОСКОСТИ Декарта!
Анри Пуанкаре тоже был Математиком! Он-то как раз и считается "основателем" ТОПОЛОГИИ, в том числе - ТРЁХМЕРНОЙ!
А его гипотезу "о трёхмерной СФЕРЕ" доказал питерский математик Григорий Перельман!
Ни Я, ни Перельман ... и никто другой "недекартовый" математик не собираются ОТМЕНЯТЬ доказанные ранее гипотезы и теоремы из ДРУГИХ направлений математики, физики и других НАУК!
Но если Вам чем-то помешали мои "замечания" - приношу свои извинения!

"Я больше не буду!" )

[Гость]

Уважаемый Va.tlx! Признаю Вашу правоту - мысли об отрицательных степенях, видимо, уводят в сторону. Попробую следовать в рассуждениях цитате Декарта, которую Вы привели. Как Вы думаете, Ферма мог оперировать комплексными числами геометрически? В доказательстве Теоремы для степени, равной трём, данном Эйлером, используется понятие комплексного числа.
Уважаемый Rados! Доводилось задумываться над треугольным и квадратным разбиением плоскости, проецируя далее на объём, но вряд ли эту входит в тему в обсуждения.

[va.tlx]

Уважаемые читатели! Если не будет возражать администрация форума, я готов разместить ниже краткую справку о состоянии науки во Франции 17 века и том инструментарии, которым располагал Пьер де Ферма в своем творчестве. Думаю, это будет полезно для многих читателей.

[Rados]

для n = 0 при геометрическом отображении мы можем взять точку или единицу, которая в представлении древних считалась неделимым числом

Есть предположение, что таким "модулем" у египтян был т.н. "египетский треугольник" со сторонами (в современном выражении) 3... 4... 5.
Если такой треугольник применять для линейных измерений, то один оборот такого "модуля" (по периметру) даёт в сумме число 12, а потом можно обратным отсчётом получить любое ЦЕЛОЕ число, используя в качестве "мерки" различные комбинации этих ЦЕЛЫХ чисел:
3+3 = 6 ... 3+4 = 7 ... 4+4 = 8 ... 4+5 = 9 ... 5+5 = 10 ... 3+3+5 = 11 ... ... ну и тд...

Отличие такой "системы измерений" от современного землемерия, когда землемер как бы "шагает" деревянным циркулем (в виде буквы А) по измеряемому ПОЛЮ, именно в том, что в "египетском" треугольнике УЖЕ ЗАЛОЖЕНЫ целочисленные соотношения периметра с гипотенузой и катетами! Очевидно у египтян в то время была именно двенадцатиричная (а не десятичная) система мер.

[Гость]

Уважаемый Va.tlx. Уверен, всем будет интересно узнать новенькое!

[va.tlx]

Проникновение в Европу арифметических знаний и индусской символики.

Вскоре после того, как наступило время упадка греческой математической науки, другая арийская раса—индусы— стала обнаруживать блестящие математические способности. Не в области геометрии прославились они, но в области арифметики и алгебры. В геометрии они были даже слабее, чем греки в алгебре. Заметных успехов достиг¬ли они в области неопределенного анализа, но в этом отношении они не оказали никакого влияния на европейских ученых по той причине, что их исследования сделались известными на западе лишь в начале девятнадцатого века.
Bapвapcκиe народы, которые из лесов и с болот севера и с Уральских гор устремились на Европу и разрушили Римскую Империю, гораздо медленнее, чем магометане, усваивали умственные сокровища и цивилизацию Древнего Миpa. Первые следы математических знаний на западе указывают на римское происхождение.
Среди сочинений, переведенных в период, начинаюийся с двенадцатого столетия, находится арифметика Альхуаризми (переведенная, вероятно, Ательгардом изъ Бата), алгебра Альхуаризми (Герардом из Кремоны в Ломбардии) и астрономия Аль-Баттани (Платоном из Тиволи). Иоанн Севильский написал liber alghoarismi—компиляцию из арабских писателей. Таким образом, арабская арифметика и арабская алгебра укрепились в Европе. Apa6cκиe, или, вернее, индусские методы вычисления, вместе с нулем и принципом поместного значения, стали вытеснять способы популярного тогда вычисления посредством абака. Но не сразу одержало победу новое над старым. Борьба между двумя школами арифметиков — старой школой абацистовъ и новой альгористической школой—продолжалась невероятно долго.
Альгористы, в противность абацистам, не упоминают об арабах, но упоминают об индусах, употребляют слово алъгоризм, вычисляют с помощью нуля и не употребляют абака; в этом и состоит главное paзличие между двумя школами альгористов и абацистов. Первые нз них учат, как извлекать квадратные корни, абацисты же этому не учат; альгористы учат употреблению шестидесятичных дробей по обычаю арабов, тогда как абацисты пользуются римскими двенадцатеричными дробями.
В конце двенадцатого столетия появился в Италии человек, обладавший истинным математическим дарованием. Он не был монахом, но деловым человеком, посвящавшим часы досуга занятиям математикой. Леонарду из Пизы, называемому также Фибоначчи или Фибоначи, мы обязаны первым возрождением математики на христианской почве. Будучи еще мальчиком, Леонардо научился пользоваться абаком. В позднейшие годы, во время своих обширных путешествий по Египту, Сирии, Греции и Сицилии, он освоился с различными способами вычисления. Из различных приемов он нашел бесспорно наилучшим индусский. По возвращении домой он издал в 1202 году латинское сочинение —liber abaci. Второе издание появилось в 1228 году. Книга эта содержит почти всю совокупность арифметических и алгебраических знаний арабов и вместе с тем обнаруживает, что автор не является простым компилятором или рабским подражателем.
Liber abaci начинается так: «Девять индусских знаков суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по арабски сифр, можно написать какое угодно.число. Арабское слово сифр (по-русски цифра) (сифра — пустой) перешло в латинское sephirum и английское cipher). Если арабы писали справа налево, то Леонардо в приведенном отрывке пишет цифры в обратном порядке, от большего числа к меньшему.
Liber abaci—древнейшее известное доселе сочинение.
Трактат Леонардо в течение нескольких столетий служил для авторов арифметических и алгебраических сочинений кладовой, из которой они брали материалы для своих книг. При этом, Алгебра Леонардо была чисто «риторической», то есть она была совершенно лишена алгебраического символизма.
В Италии индусские цифры были с готовностью приняты просвещенными массами, в ученых же кругах их сначала отвергали.
Итальянские купцы пользовались ими еще в тринадцатом веке; в 1299 году флорентийским купцам было запрещено употреблять индусские цифры в бухгалтерии и приказано было или пользоваться римскими цифрами или же писать числа полностью словами. Приказ этот оправдывался, вероятно, тем обстоятельством, что употреблявшиеся тогда индусские цифры не приняли еще определенных окончательных видов, и поэтому разнообразие форм, в которых писались некоторые цифры, приводило иногда к двусмысленности и недоразумениям и даже давало повод к обману. Отсюда, даже в наше время денежные суммы на чеках и счетах всегда пишутся словами (прописью).
В Германии, Франции и Англии индусские цифры почти не употреблялись до второй половины пятнадцатого века.
Небольшая книга об индусской арифметике, озаглавленная De arte numerandi, называвшаяся также Algorismus, была в ходу, главным образом, во Франции и Италии, в течение нескольких столетий. Ее обыкновенно приписывают Джону Галифаксу, именуемому также Sacrobosco, или Holy¬wood; он родился в Йopκшире, получил воспитание в Оксфорде, но впоследствии поселился в Париже, где занимался преподаванием до самой своей смерти, последовавшей в 1256 году. Книжечка эта содержит правила без доказательств и без численных примеров; о дробях тамъ нет ничего. Она была напечатана в 1488 г. и еще много раз впоследствии. Согласно сборнику (J. О. Halliwell; Rara Mathematica, 1839) это «первое арифметическое сочинение, напечатанное во французском городе (Страсбурге).
Заканчивая эти краткие заметки, следует отметить то, что в четырнадцатом и пятнадцатом веках было сделано сравнительно мало самобытных математических исследований. В это время было много писателей, но их попытки сделать что-либо для науки парализовались дурными методами схоластической логики.

[vlmit]

Уважаемый Va.tlx! Благодарю, Ваш рассказ о самом зарождении европейской математики лично для меня оказался нов и весьма интересен. Загадочной кажется личность Фибоначчи и его приключения (вспоминаются подобные легендарные путешествия Герберта Аврилакского). Интересно и проникновение индусского счета, особенно, числа ноль. Возможно, понятие нуля полезно для бухгалтерских вычислений, но для геометра (по моему мнению) оно не значит ровным счетом ничего. В геометрии мы имеем дело с тождествами, в которых нет ни нуля, ни отрицательных чисел, потому что они означают нечто относительное, софистическое, в то время как предмет поисков геометрии - центр (точка), истина, из которого вся задача становится понятной (а кому-то на ум в такие моменты приходят мысли о божественном). Собственно, поэтому Ваша статья о геометрии Ферма показалась мне глотком свежего воздуха. Возвращая к обсуждению наследия французского математика, замечу, что он сформулировал закон геометрической оптики, который сейчас носит его имя. Занятия оптикой, наблюдения зеркальных коридоров дают представление о пределе как последовательности подобий. Возможно, зеркала помогают увидеть в числах еще кое-что интересное. И тут не могу отделать от мысли о комплексных числах и о философской абсурдности понятия мнимой единицы. На ум приходит формула Муавра и логарифмическая спираль, целые степени числа на которой можно отсекать с помощью равных углов. Да, спираль позже интенсивно изучал Бернулли и называл mirabilis, но вспомните mirabilem из замечания на полях Диофанта. Простите за туманность изречений, но вопрос весьма щекотлив, понятие комплексных чисел в современной математике является, пожалуй, одним из фундаментальных (не говорю уж об отрицательных числах, но трудно спорить с удобством такой конструкции для вычислений). С радостью изложу мысль подробно, если то будет нужно.

Уважаемый Rados! Преимущества египетского треугольника перед циркулем (следовательно, равностронним треугольником и квадратом) выглядят сомнительными.

[va.tlx]

Уважаемый Vlmit!
Хотел бы попросить Вас в будущем не использовать неопределенных оценок. Если у Вас есть определенное мнение, не совпадающее с высказыванием кого-либо, то лучше обосновать его незамедлительно. Это во многом упростит общение в будущем и направит его в рациональное русло.
Что же касается разносторонней деятельности Пьера де Ферма (оптика, вероятности, оптимизация, шифрование, поэзия и еще много иного), конечно, с ними нельзя не столкнуться, когда интересуешься творчеством такого великолепного аналитика. И я тут не исключение. По поводу оптических опытов могу порекомендовать задачу распространения луча или математического шарика внутри конуса. Удастся ли Вам найти условия, при которых луч внутри конуса будет рисовать единственно возможную траекторию, не растворяясь в бесконечном их количестве. Углы падения и отражения, как и точки преломления, в данном случае, будут рациональными числами. Пока такой задачки в элементарном исполнении, насколько я знаю, никто не решал. Отвечать мне не нужно.

[va.tlx]

Проникновение в Европу геометрических знаний.

Семантический ареал понятия «геометрия» в современном мире очень широк. Поэтому, чтобы не втягивать читателей в нудное перечисление формальных признаков и пустых рассуждений, перейдем сразу к оценкам и анализу ученых-историков вековой, а кое-где и многовековой давности.Что дал Европе древний Восток или так называемые индусы?
Ответ на этот вопрос будет кратким и однозначным – ничего; во-первых потому, что, как и у египтян и римлян, у индусов никогда не было науки геометрии; во-вторых потому, что индусы, в противность египтянам и римлянам, никогда не были в геометрии учителями других народов.
Существуют указания на то, индусы сами заимствовали некоторые части греческой геометрии. Брахмагупта дает «Геронову формулу» для вычисления площади треугольника по его сторонам. Он также дает предложение Птолемея о том, что произведение диагоналей четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон, но не упоминает о том, что теорема эта применима только к четырехугольникам, вписанным в круг. Главную часть индусской геометрии составляет вычисление площадей.
Арьябхатта дает значение числа π как отношение двух чисел. Бхаскара оригинальным геометрическим построением приводит доказательство теоремы о прямоугольном треугольнике (теорема Пифагора). «Смотри», говорит Бхаскара, не прибавляя к этому ни одного слова для объяснения теоремы. Надо сказать, индусские писатели вообще не имели обыкновения давать доказательства в строгой форме.
Что же касается тригонометрии индусов, то можно сказать что эта сфера знаний служила лишь орудием для астрономических изысканий. Как вавилоняне и греки, они так же разделяют круг на 360 частей (градусов) или 21600 минут. Принимая значение π = 3.1416 и длину окружности 2πR, они получают значение радиуса R равным (с избытком) 3438 таких делений круга. Такой подход к понятию меры в принципе чужд духу гре¬ческой геометрии. Гpeчecκиe математики не решились бы измерять прямую линию частями кривой. Это косвенно доказывает утверждение о заимствовании и замкнутости геометрии индусов.
У Птолемея разделение радиуса на шестидесятпчные доли производилось независимо от деления окружности; он не пользовался общей единицей меры. Индусы разделяли каждый квадрант на 24 равный части, так что каждая из этих частей заключала в себе 225 из 21600 минут.
Характерной чертой тригонометрии индусов является то, что они при вычислениях не пользовались хордой данной дуги, а синусом этой дуги (т. е. полухордой данной дуги) и обращенным синусом или косинусом дуги. Интересна история происхождения названий этих тригонометрических функций и методики их вычисления у древних индусов, но, за недостатком места, предлагаю ознакомиться с ними самостоятельно. Остается заметить лишь, что среди дошедших до нас индусских математических трактатов нет ни одного, посвященного тригонометрии треугольника. В их астрономических сочинениях даны решения плоских и сферических прямоугольных треугольников. Косоугольные треугольники решались посредством разложения на прямоугольные, что давало возможность выполнять все обыкновенные вычисления.
Ученые арабского Магриба не внесли в древнюю сокровищницу геометрических знаний почти ничего. Однако, они сыграли чрезвычайно важную роль в истории математики; они были хранителями греческой и восточной науки, которую в свое время передали Западу. Это интересная, порой загадочная, а, иногда, и мистическая история распространения геометрии в Европе, элементы которой, при желании, можно разыскать в свободном доступе. Благодаря мудрости арабских правителей начала нашей эры европейский мир получил труды Евклида и Птолемея, Архимеда и Гипсикла, Аполлония, Герона и Диофанта. Таким образом, уже к XVI веку Европа получила доступ к обширной сокровищнице греческой науки.
Нельзя сказать, чтобы до проникновения арабской науки в Европу геометрические познания на Западе превосходили познания египтян на стыке тысячелетий. Кроме определений треугольника, четырехугольника, круга, пирамиды и конуса (как они даны были в римской энциклопедии карфагенянина Марциана Капеллы) и простых правил землемерия, средневековые монахи знали не много. Площади треугольных и четырехугольных участков земли находятся с помощью тех же приближенных формул, которыми пользовались и египтяне, и которые даны в геометрии Боэтия: четырехугольник равен произведению полусумм противоположных сторон; треугольник равен произ¬ведению полусуммы двух сторон на половину третьей.
Иными словами можно сказать, что проникновение греческой математической школы, благодаря огромным усилиям арабских ученых раннего средневековья, стало тем фундаментом, который впоследствии позволил поднять европейскую математическую культуру на небывалую высоту. Философы горели желанием узнать об Аристотеле больше того, что можно было узнать по сочинениям Боэтия; математики жаждали приобрести более глубокие математические познания. У европейцев не было под руками греческих текстов; поэтому они стали учиться у магометан; в это время арабы считались самыми учеными людьми на свете. Это подвигало многих на длительные и опасные путешествия. Мавританские университеты в Кордове, Севилье и Гранаде были опасными местами пребывания для христиан.
В таких условиях и с таким багажом Европа медленно и неуклонно приближалась к периоду своего Возрождения.

[Гость]

Уважаемый Va.tlx! Простите, что нарушаю Вашу просьбу не отвечать, но условие задачи о конусе понял не до конца. Можно брать конус с любым соотношением основания и высоты? И может ли образующая быть бесконечной?

Рад был прочесть очередную часть Ваших заметок. Получается, строители готических соборов пользовались исключительно теми знаниями, что остались в Европе после развала Римской Империи? Или брали их у мавров?

[va.tlx]

Уважаемые мои читатели! Не так давно я перенес тяжелую онкологическую операцию и по причине плохого самочувствия теперь приходится больше лежать, чем сидеть и заниматься своим любимым хобби. Предоставляю всем вам самостоятельно вести этот раздел, спорить, доказывать и достигать заслуженных успехов. Я очень рад, что оказался востребован такой большой аудиторией. Удачи всем вам! И светлого ума!

[Гость]

Уважаемый Va.tlx! Печальная весть. Было бы интересно однажды прочесть здесь новые Ваши сообщения - они помогают проникаться духом классической математики. Благодарю Вас за пожелание и желаю Вам выздоровления!