Геометрия Пьера де Ферма

[va.tlx]

Как известно, великий французский математик XVII века Пьер де Ферма считается основоположником многих направлений в современной алгебре. Однако не следует забывать и о его любви к геометрии, с которой он, по сути, начал свое математическое образование. Он способствовал восстановлению пришедших в негодность книг Аполлония Пергского, первым (раньше Декарта) пришел к созданию координатной геометрии. Единственная опубликованная им при жизни научная работа "Введение в изучение плоских и телесных мест" явилась своеобразным центром объединения знаний своих предшественников. Попытаемся "перевести" ее на современный математический язык и посмотреть каких результатов можно добиться используя эту забытую геометрию. Начнем с самого простого: изобразим прямоугольную координатную систему и построим на ней механизм измерения косинусов определенных углов при помощи циркуля и линейки.

Косинусы.png (75.78 КБ) Просмотров: 32456

[va.tlx]

Не знаю как редактировать уже отправленные сообщения (прошу извинить), поэтому буду использовать способ ответов. Впоследствии обязательно исправлюсь.
Так вот, продолжая начатую тему о геометрии Ферма, посмотрим как можно возвести в целую положительную степень рациональную дробь.

[va.tlx]

Продолжаем отвечать на свои предположения.
Оказывается, зная метод приведенный выше и представив себе на минуту, что мы нашли корни известного уравнения Ферма X и Y, мы уже в состоянии построить некую гипотетическую модель решения этого уравнения, конкретное применение которой изложим в следующем ответе. Построение модели не представляет никакой сложности, но из нее следует важный вывод: все решения уравнения Ферма находятся на пересечении базовых окружностей и вертикалью, являющейся общей как для неизвестной X, так и для неизвестной Y. Смотрим рисунок.

[va.tlx]

Подведем итоги. Для этой цели дополним набор возможностей описанной выше системы построений практическим примером. Покажем как по двум известным значениям X и Z можно графическим способом найти приближенное значение третьей переменной Y. На приведенных ниже рисунках дана технология такого поиска и, отдельно, расшифрована методика построения ломаной линии CD, построенной по точкам пересечения вспомогательных линий системы. Заранее хочу предупредить - представленная работа не является попыткой решения ВТФ. Мы просто "прошлись" по некоторым возможностям забытой геометрии Пьера де Ферма. Ну, а мог или не мог французский гений разгадать свою последнюю неразгаданную тайну с помощью подобных умозрительных опытов, думаю, будущее покажет. Искренне благодарен администрации форума за возможность высказаться, но еще более буду благодарен любителям математики Ферма за развитие этой темы.

[va.tlx]

Еще один практический пример.

[va.tlx]

В заключение темы задача на сообразительность.

[va.tlx]

Немного расширим функциональность предыдущего построения (Рис.7). Получим фигуру идентичную одному из доказательств теоремы Пифагора. Может где-то в этих переплетениях линий и формул и находится так называемое элементарное доказательство ВТФ?

[va.tlx]

Элементы вычислений в геометрической системе.

[va.tlx]

ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ И РАЦИОНАЛЬНОЕ.

[va.tlx]

Утверждение взаимно однозначного соответствия между геометрическими местами и неопределенными уравнениями,
классами математических объектов, ранее несвязанных в умах математиков, обеспечивает, по выражению Ферма,
«общий путь к местам», то есть общий метод для разрешения проблем местоположения.

[va.tlx]

ОБЛАСТЬ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ СВОБОДНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИИ ФЕРМА

[va.tlx]

ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ

[va.tlx]

ВЫЧИСЛЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

[Гость]

Уважаемый va.tlx. Ваша статья замечательна, благодарю!

[va.tlx]

Очень рад. Спасибо!

[Гость]

Уважаемый va.tlx. Поскольку тема интересная, хочу дополнить Ваши рассуждения на тему тему геометрии Ферма комментарием о бесконечном спуске. Ферма открыл метод бесконечного спуска и в одном из писем заявил, что во всех своих доказательствах (в теории чисел, надо полагать) пользовался этим методом. Суть метода в том, что некоторые свойства или отношения невозможны для целых чисел, если исходя из предположения о том, что они выполняются для каких-либо чисел, удается доказать, что они выполняются для меньших чисел. Действительно, в таком случае то же самое рассуждение позволяет заключить, что они выполняются для еще меньших чисел, и т.д. - ad infinutum, - что невозможно, поскольку последовательность целых чисел не может бесконечно убывать (цитирую книгу Эдвардса).

Получается, в методе бесконечного спуска мы можем выделить две группы соотношений целых чисел, таких, что вторая следует из первой и некоторые числа первой группы не являются кратными числам второй. Геометрически это значит, что многоугольник, составленный из второй группы чисел, не является подобным многоугольнику, составленному из первой группы чисел. Следовательно, для построения с циркулем и линейкой, если таковое имеется для теоремы Ферма, мы можем предполагать наличие кривой, которая будет иллюстрировать некоторый поворот. Это, конечно, Вам хорошо известно. Хочу обратить ваше внимание на логарифмическую спираль. Если на сторонах равностроннего многоугольника построить еще один равносторонний многоугольник так, чтобы его вершины были недалеко от исходного, и, пользуясь отношением длин сторон двух получившихся многоугольников, строить на сторонах каждого следующего новый, то точки вершин будут лежать на логарифмической спирали. Для случая количества вершин $n = 2$ траектория будет прямой, а для случая $n = \infty$ - окружностью. Прямую можно представить как сечение квадрата, треугольник - куба, квадрат - гиперкуба и так далее. Мысль, что логарифмическая спираль, если так можно выразиться, не имеет ни начала, ни конца, может сузить круг поисков для доказательства теоремы геометрически (если таковое имеется).

Возможно, еще сильнее сузит круг поисков исходное положение для доказательства методом бесконечного спуска: берется некоторое соотношение целых чисел, которое признается справедливым для заданного утверждения. В случае теоремы Ферма $x^n + y^n = z^n$ это может быть треугольник или три точки на прямой. В Вашей же статье, как мне показалось, Вы "сводите" соотношения к точке или прямой, хотя значение степени $n$, следовательно, количество построений для нее, может быть бесконечно большим, поэтому проще было бы искать от исходного положения (треугольника или прямой) или исходной степени $n$, даже если она равна нулю или единице.

Возможно также, что подход, показанный в Вашей статье - условно говоря, "от бесконечности к нулю", совмещается с подходом "от нуля к бесконечности", раз уж у логарифмической спирали нет ни начала, ни конца. В таком случае замечание Ферма на странице книги, что он не может привести доказательство, потому что поля книги слишком узки, можно понимать буквально - чертеж должен быть довольно велик, чтобы рассмотреть детали.

Наконец, раз уж упомянута логарифмическая спираль, можно вспомнить и фракталы. Фрактал (пример приведен на изображении) легко понять, увидев, но, кажется, не всегда легко вывести. Может ли это затруднить представление возможного доказательства теоремы Ферма в голове? Будучи погруженным само в себя, оно порождает само себя, находясь извне и внутри и ускользая от неподготовленного ума, который не готов объять подобное. Если так, то оно действительно чудесно.

[va.tlx]

Уважаемый ГОСТЬ! Мне доставляет огромное удовольствие видеть заинтересованный взгляд на затронутые мной вопросы в теме геометрических изысканий Пьера де Ферма. Я обязательно выскажу свою точку зрения по поводу вашего дополнения. Однако некоторое время мне придется заниматься крайне неотложными делами, в связи с чем вынужден извиниться за некоторую отсрочку с ответом. В качестве компенсации могу предложить кое-какие соображения по дальнейшему исследованию возможностей ординатной системы великого математика. Думаю, они могут послужить своеобразной прелюдией к предстоящему обсуждению.

[Гость]

Буду рад узнать Вашу точку зрения как здесь, так и в личных сообщениях (самому отправлять их с новой учетной записи нельзя).

По поводу Вашего последнего сообщения. Надеюсь, что верно истолковал порядок действий: синие линии иллюстрируют построение первого степенного ряда, красные - второго, а между ними возникает третий степенной ряд из серых линий, с помощью которого с краев основания отсекается отрезок [tex]LM = NL_1[/tex]

Что же касается обсуждения, добавлю еще кое-что (что больше может пригодиться другим читателям). Как известно, Ферма оставил формулировку теоремы на полях "Арифметики" Диофанта. Уверен, вы читали эту замечательную книгу. Заметьте, как он формулирует задачу, из которой Ферма вывел теорему: заданный квадрат разложить на два квадрата. Сразу в голове проносится мысль о других степенях, больших второй. Но ведь Диофант вводит также и понятие отрицательной степени. Может, нам стоит обратить внимание на это. Как геометрически проиллюстрировать разложение степени [tex]n = -1[/tex] или [tex]n = -2[/tex] надвое? Предлагаю и другим читающим, если они есть, данную задачу, которой и займусь в ожидании Вашего ответа. Возможно, тут будет таиться симметрия, которая поможет нам найти связь между разложением отрицательных и положительных целых степеней (интересно, что для [tex]n = 0[/tex] при геометрическом отображении мы можем взять точку или единицу, которая в представлении древних считалась неделимым числом).

[vlmit]

В предыдущем сообщении опечатка: с края основания, разумеется.

[va.tlx]

Уважаемый Vlmit! Мне импонирует Ваша эрудиция и активная заинтересованность в решении различных математических казусов. Но мы можем уклониться от темы, используя такой подход. О творчестве Пьера де Ферма написано много книг. Изучены его методы. Сделаны логически обоснованные выводы, в том числе и в отношении его Великой теоремы. Трудно что-либо добавить к уже существующему. Поэтому предлагаю последовать наставлению Рене Декарта: "Касательно обсуждаемых предметов следует отыскивать не то, что думают о них другие или что предполагаем мы сами, но то, что мы можем ясно и очевидно усмотреть или достоверным образом вывести, ибо знание не приобретается иначе". Это будет правильно и интересно всем. Математика, действительно, обладает неуловимой магией. Но эта магия ощутима и действенна лишь в познании нового. В моей работе нет элементов заимствования. Каждое построение, не смотря на их кажущуюся простоту, требует не только проникновения в их суть, но, в чем-то, и переосмысления существующих подходов. Я не могу сказать имел-ли Пьер де Ферма элементарное доказательство своей Великой теоремы, но одно для меня очевидно - он просто обязан был иметь перед глазами очевидную геометрическую картинку для своих выводов. Построенная в данной работе гипотетическая модель решения уравнений Диофанта вполне могла такой картинкой быть. Попытайтесь в ней увидеть ценное зерно, дополняйте своими оригинальными решениями, не используйте средств и методов не имеющихся в 17 веке и вы в полной мере ощутите на себе неуловимую магию чистого разума. Желаю Вам и всем своим читателям успехов в этом трудном и интересном занятии.