Задачи к теореме Ферма

[Гость]

Здравствуйте!
Я, Михаил Андреев из Риги, окончил Латвийский ГУ по специальности прикладная математика, сейчас на пенсии. Привожу результаты своих исследований, связанных с теоремой Ферма. Прошу оценить результаты и высказать свои замечания. Спасибо.

Задача 1
Для простоты n = 5.
[tex]x^{5 }[/tex] + [tex]y^{5 }[/tex] = [tex]z^{5 }[/tex]
где x или y или z четное
1) если z четное
(x + y)([tex]x^{4 }[/tex] – [tex]x^{3 }[/tex]y + [tex]x^{2 }[/tex][tex]y^{2 }[/tex]– x[tex]y^{3 }[/tex] + [tex]y^{4 }[/tex]) = [tex]z^{5 }[/tex]
тогда
x + y = k[tex]2^{5 }[/tex]
и
y = -x + k[tex]2^{5 }[/tex]

2) если x четное
z = y + k[tex]2^{5 }[/tex]

3) если y четное
z = x + k[tex]2^{5 }[/tex]

Очевидно, что все решения уравнения лежат на прямых 1), 2), 3).

Задача 2
Рассмотрим уравнение
[tex]x^{3 }[/tex] + [tex]y^{3 }[/tex] = [tex]z^{3 }[/tex]
где x, y и z не делятся на 6.
Тогда по малой теореме Ферма
x6 [tex]\equiv[/tex] 1 mod 7
y6 [tex]\equiv[/tex] 1 mod 7
z6 [tex]\equiv[/tex] 1 mod 7
Следовательно
x3 [tex]\equiv[/tex] ±1 mod 7
y3 [tex]\equiv[/tex] ±1 mod 7
z3 [tex]\equiv[/tex] ±1 mod 7
Но
±1 ±1 ≢ ±1 mod 7
т.е. уравнение не имеет решения.

Задача 3
Рассмотрим уравнение
[tex]x^{n }[/tex] + [tex]y^{n }[/tex] = [tex]z^{n }[/tex]
при фиксированном z, а не n. Известно, что n < z и очевидно, что x < z и y < z. Тогда решение уравнения сводится к простому перебору по n, x и y.
z не может быть простым числом. Если z простое число, то x + y делится на z и x + y < 2z. Т.е. x + y = z. Но система уравнений
x + y = z
[tex]x^{n }[/tex] + [tex]y^{n }[/tex] = [tex]z^{n }[/tex]
не совместна.

Задача 4
Рассмотрим уравнения
[tex]x^{n }[/tex] + [tex]y^{n }[/tex] = [tex]z^{n }[/tex] ( 1 )
где x, y и z взаимно простые
[tex]x_{1 }[/tex] [tex]y_{1 }[/tex] ([tex]x_{1 }[/tex] + [tex]y_{1 }[/tex]) = [tex]z1^{n }[/tex] ( 2 )
где [tex]x_{1 }[/tex], [tex]y_{1 }[/tex] и [tex]z_{1 }[/tex] взаимно простые
Уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда имеет решение уравнение (2).
Если (1) имеет решение, положим
[tex]x_{1 }[/tex] = [tex]x^{n }[/tex], [tex]y_{1 }[/tex] = [tex]y^{n }[/tex], [tex]z_{1 }[/tex] = xyz
Если (2) имеет решение, то
[tex]x_{1 }[/tex] = [tex]a^{n }[/tex], [tex]y_{1 }[/tex] = [tex]b^{n }[/tex], [tex]x_{1 }[/tex] + [tex]y_{1 }[/tex] = [tex]c^{n }[/tex]
т.е. [tex]a^{n }[/tex] + [tex]b^{n }[/tex] = [tex]c^{n }[/tex].

[Гость]

Математика — это решения. А у Вас просто перебор символов. Как говорится: «А что это было?». Кстати, теорема — это то, что доказано математически, а то, что не доказано математически, — это аксиома.