Переменная.

[Andrey1111]

Здравствуйте. Заранее скажу, что мой уровень познания математики - это 11 кл. и начала мат. анализа в техникуме.

Еще со школы всем известно следующее определение:
Переменная — математический объект, характеризующийся множеством значений.
Как нас учили, вместо переменной можно подставить любое значение из заданной области. Если a [tex]\in[/tex] N, то вместо a можно подставить любое N, т.е. 1, 2, 3...

Недавно у меня возник вопрос, вот мы используем переменные в общих доказательствах, ведь если я попытаюсь доказать какую-то теорему при помощи конкретных чисел, то это у меня вряд ли получится...

Для примера я взял формулу из 7 класса: [tex]a^{n } \cdot a^{m }[/tex]=[tex]a^{n+m }[/tex], где n, m [tex]\in[/tex] N; n>1, m>1

Почему я могу считать n и m универсальными объектами, почему они решают задачу для всех натуральных чисел в данном случае?
Также я задался вопросом, а вдруг конкретное значение числа, подставляемого вместо n и m повлияет на результат, а мы этого не учитываем? Вдруг найдется такое натуральное число, при котором формула не сработает?

Далее я пришел к следующим размышлениям.
У нас есть абстракции в математике. Например, мы абстрагируемся от конкретных предметов и выделяем лишь одно их свойство - количество. Для обозначения количества мы вводим числа. Каждое число - универсальный способ показать количество. Например, 5, не важно чего 5: стульев, самолетов, яблок и т.д. Число в данном случае является универсальным.
Тогда мы можем пойти следующим путём и ввести абстракцию над абстракцией, т.е. абстракцию второго порядка. Мы можем взять числа и выделить у них лишь одну сторону, например их свойства.
Обращу свое внимание, например, на натуральные числа. Они все имеют разное значение и обозначают разное количество, но у них есть общее - их свойства. Все натуральные числа работают по одним свойствам. Тогда абстрагируемся от всего остального, создадим элемент, который будет говорить нам о том, что у нас есть число с определенными свойствами. Вводим n [tex]\in[/tex] N, что означает, что n - это число натуральное (со свойствами натуральных чисел).
Соответственно, если я теперь буду использовать n в доказательствах, то в процессе у меня не будут участвовать никакие количества, а будут участвовать лишь свойства n как элемента N. По сути, доказав теорему, я могу сказать: теорема доказана для n, а n - натуральное число, значит теорема доказана для натурального числа. А теперь перейти к конкретике, спросить себя: а 1 - это натуральное число? А 2? А 3 и т.д.? Действительно, они натуральные, соответственно теорема должна выполняться и для них? При доказательстве я использовал лишь свойства элемента n, значит конкретное значение переменной не должно влиять на результат? Доказательством теоремы я как бы говорю, что эти натуральные числа должны в данном случае вести себя так-то, так-то, а уже при подстановке конкретных чисел я решаю вопрос значений?

Немного не могу прояснить момент вот с этим "вместо n можно подставить любое из значений", "доказав для n, мы доказываем для всех чисел".
С курсом мат. логики не знаком.
Вспоминаю из видео Савватеева, что способный ребенок к математике должен в классе 3-4 понять, что такое "x" (переменная) в математике, и что вместо него можно подставлять любые значения. Но по сути в школе нет этого понимания, нет логического обоснования: почему же все такие можно подставить вместо x любое число, например, если x [tex]\in[/tex] Z, то любое из Z... Там это дается как аксиома: вот, мол, можешь, и всё, делай это, не ошибешься.

Что скажете по этому поводу? Правильны ли мои рассуждения? Что сможете добавить? Поможете навести порядок в голове касательно этого вопроса?