ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Уравнение Великой теоремы Ферма третьей степени:
[tex]a^3+b^3= c^3[/tex] . (1)
Запишем и преобразуем трином третьей степени:
[tex](a+b-c)^3=(a^3+b^3-c^3)+3(a+b)(c-a)(c-b)[/tex] (2)
Если уравнение Великой теоремы Ферма имеет решение в целых числах, должно выполняться равенство:
[tex]a^3+b^3-c^3=0[/tex] (3)
Тогда из уравнения (2) должно следовать:
[tex](a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)[/tex] (4)
Поскольку числа [tex]a, b, c[/tex] взаимно простые, трехчлен [tex](a+b-c)[/tex] и, следовательно, трехчлен [tex](a+b-c)^3[/tex] не делятся на двучлены [tex](a + b), (c-a), (c-b)[/tex].
Следовательно, после вычитания из правой части уравнения (2) тринома [tex](a^3+b^3-c^3)[/tex] остаток уравнения, формула (4), не может быть равенством:
[tex](a+b-c)^3 \ne 3(a+b)(c-a)(c-b)[/tex] (5)
Следовательно, формула (3) также не является равенством:
[tex]a^3+b^3-c^3\ne 0[/tex] (6)
Поэтому:
[tex]a^3+b^3 \ne c^3[/tex] (7)
Кроме того, в соответствии с уравнением (4) число [tex](a+b-c)^3[/tex] должно делиться на показатель степени [tex]n=3[/tex]. Это условие предъявляет соответствующие требования к соотношению значений чисел [tex]a, b, c[/tex], что вряд ли является условием решаемости уравнения теоремы Ферма в целых числах.
Следовательно, уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в натуральных числах для степени [tex]n=3[/tex].