Решение ВТФ методом деления

[Гость]

В журнале "Проблемы современной науки и образования" опубликована статья "Решение Большой теоремы Ферма методом деления" от автора Ведерникова С. И. Есть ли там ошибка?
Теорема:
для целого натурального числа n>2 уравнение [tex]X^n+Y^n=Z^n[/tex] не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z.
Доказательство.
Имеется[tex]X^n+Y^n=Z^n[/tex], где X, Y, Z, n – натуральные положительные числа.
Z > X >Y – взаимно простые числа, n > 2.
Произведём разложение на множители в уравнении [tex]X^n+Y^n=Z^n[/tex] при n>2. Есть три случая. Посыл общий: чётное число, имеющее множителем [tex]2^n[/tex], при n≥3, можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Известно, что Z в исходном уравнении при чётном n не может быть чётным числом, а X и Y одновременно нечётными, поэтому примем Z , X – нечётными числами, Y – чётным числом, поскольку принципиальной разницы между X и Y в данном случае нет.
Рассмотрим первый случай, когда n > 2 чётное число.
Случай 1.
Z, X – нечётные, Y – чётное, n – чётное.
Имеется:
[tex]X^n+Y^n=Z^n[/tex].
Преобразуем исходное уравнение:
[tex]Z^n-X^n=Y^n[/tex]. (1)
Разложим на множители ф. (1).
[tex]Z^{n/2}+X^{n/2}=Y^{n-m}[/tex]; (2)
[tex]Z^{n/2}-X^{n/2}=Y^m[/tex]. (3)
Из почленного сложения ф. (2) и ф. (3) имеем:
[tex]2∙Z^{n/2}=Y^{n-m}+Y^m[/tex];
[tex]Z^{n/2}=(Y^{n-m}+Y^m)/2[/tex]; (4)
а из почленного вычитания ф. (3) из ф. (2) имеем:
[tex]2∙X^{n/2}=Y^{n-m}-Y^m[/tex];
[tex]X^{n/2}=(Y^{n-m}-Y^m)/2[/tex]. (5)
Из ф. ф. (4) и (5) видно, что при соблюдении условия о нечётности Z и X необходимо, чтобы одно из чётных чисел [tex]Y^{n-m}[/tex] или [tex]Y^m[/tex] имело множителем только одно число 2. Тогда другое число должно иметь множителем [tex]2^{n-1}[/tex], поскольку [tex]Y^n[/tex] – число чётное и имеет множителем минимум одно число [tex]2^n[/tex]. При этом [tex]Y^{n-m}[/tex] и [tex]Y^m[/tex] не могут иметь общих множителей, кроме оговорённых выше кратных 2, поскольку в противном случае такие множители должны иметь также [tex]Z^n[/tex] и [tex]X^n[/tex], что противоречит условию о взаимной простоте Z, X и Y.
Поэтому [tex]Y^{n-m}[/tex] и [tex]Y^m[/tex] должны состоять из различных множителей числа [tex]Y^n[/tex] в той же степени, в степени n.
Поскольку из ф. (4) и ф. (5) следует, что одно из чисел [tex]Y^{n-m}[/tex] или [tex]Y^m[/tex] должно иметь множителем только одно число 2, а оба должны быть в степени n, то примем ф. (2) и ф. (3) в виде:
[tex]Z^{n/2}+X^{n/2}=2∙Y_1^n[/tex]; (6)
[tex]Z^{n/2}-X^{n/2}=2^{n-1}∙Y_2^n[/tex]; (7)
имея в виду, что [tex]Y_1^n[/tex] – число нечётное.
Из ф. ф. (4) и (5) выразим значение [tex]Z^{n/2}[/tex] и [tex]X^{n/2}[/tex], подставив вместо [tex]Y^{n-m}[/tex] значение [tex]2∙Y_1^n[/tex], а вместо [tex]Y^m[/tex]значение [tex]2^{n-1}∙Y_2^n[/tex].
[tex]Z^{n/2}=(2∙Y_1^n+2^{n-1}∙Y_2^n)/2=Y_1^n+2^{n-2}∙Y_2^n[/tex];
[tex]X^{n/2}= (2∙Y_1^n-2^{n-1}∙Y_2^n)/2=Y_1^n-2^{n-2}∙Y_2^n[/tex].
Итак, имеем:
[tex]Z^{n/2}=Y_1^n+2^{n-2}∙Y_2^n[/tex]; (8)
[tex]X^{n/2}=Y_1^n-2^{n-2}∙Y_2^n[/tex]. (9)
Поскольку [tex]X^{n/2}[/tex] является степенью числа X при чётном n≥4, то его можно разложить на множители.
Разложим выражение (9) на множители по формуле для разности n – х степеней. [tex]X^{n/2}=(Y_1-2^{({n-2})/n}∙Y_2)∙(Y_1^{n-1}+⋯+2^{({{n-2}∙{n-1}})/n}∙Y_2^{n-1})[/tex]. (10)
Из ф. (10) следует, что разложение [tex]X^{n/2}[/tex] на целочисленные множители невозможно.
Допустим:
[tex]Z^{n/2}+X^{n/2}=2^{n-1}∙Y_3^n[/tex]; (11)
[tex]Z^{n/2}-X^{n/2}=2∙Y_4^n[/tex]. (12)
Из почленного сложения и вычитания ф. ф. (11) и (12), аналогичным вышеизложенным имеем:
[tex]Z^{n/2}=2^{n-2}∙Y_3^n+Y_4^n[/tex]; (13)
[tex]X^{n/2}=2^{n-2}∙Y_3^n-Y_4^n[/tex]. (14)
Разложим ф. (14) на множители.
[tex]X^{n/2}=(2^{({n-2})/n}∙Y_3-Y_4 )∙(2^{({{n-2}∙{n-1}})/n}∙Y_3^{n-1}+⋯+Y_4^{n-1} )[/tex]. (15)
Доказано, что корень k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k – ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень есть иррациональное число. Поэтому [tex]2^{{n-2}/n}[/tex]} - число иррациональное, поскольку другим, меньшим [tex]2^n[/tex], может быть только 1.
Следовательно, X^{n/2} невозможно разложить на целочисленные множители, что однозначно и не допускает другой трактовки, а значит [tex]X^{n /2}[/tex],и здесь же [tex]X^n[/tex], являются степенью иррационального числа, и уравнение [tex]X^n+Y^n=Z^n[/tex] при чётном n > 2 не имеет решения в целых положительных числах.
При этом особо нужно отметить, что для [tex]2^{({n-2})/n}[/tex] при нечётном [tex]n/2=2k+1[/tex], характерен следующий ряд показателей:
[tex]({n-2})/n[/tex] 0/2; 4/6; 8/10; 12/14; 16/18; 20/22 … , где первый показатель - 0/2 соответствует уравнению [tex]X^2+Y^2=Z^2[/tex] при [tex]2^{0/2}=√{2^0 }=√1=1[/tex], что делает возможным его целочисленные решения при невозможности таковых для остального ряда показателей.
Случай 2.
Z; X - нечётные, Y – чётное, n – нечётное

[Гость]

Число [tex]Y=PQ[/tex] всегда составное число.
Формулы (2) и (3) должны иметь вид:
[tex]Z^{n/2}+X^{n/2}=P^n[/tex] (2)
[tex]Z^{n/2}-X^{n/2}=Q^n[/tex] (3)
так как поскольку числа [tex]Z, X[/tex] взаимно простые, взаимно простыми являются и двучлены в левой части этих формул.
Поэтому дальнейшее доказательство неверно.
Я выполнил такое доказательство. Выводы однозначные: уравнение ВТФ не имеет решения в натуральных числах.

[Гость]

Число [tex]Y=PQ[/tex] всегда составное число.
Формулы (2) и (3) должны иметь вид:
[tex]Z^{n/2}+X^{n/2}=P^n[/tex] (2)
[tex]Z^{n/2}-X^{n/2}=Q^n[/tex] (3)
так как поскольку числа [tex]Z, X[/tex] взаимно простые, взаимно простыми являются и двучлены в левой части этих формул.
Поэтому дальнейшее доказательство неверно.
Я выполнил такое доказательство. Выводы однозначные: уравнение ВТФ не имеет решения в натуральных числах.

Гостю:
Числа P^n и Q^n - числа четные, (поскольку Z^n/2 и X^n/2 - нечётные числа), т. е. имеют общий делитель 2. См. ф.ф. (6) и (7).