Комбинаторика

[Гость]

Здравствуйте Уважаемые форумчане.
Вопрос касательно комбинаторики.
Нужна ваша помощь с поиском формулы для расчета комбинаций.
Вопрос следующий:
Имеется 5 шарок,4 куба и 3 пирамиды.
Извлекаются наугад 2 предмета.
Сколько всего имеется комбинаций при условии что все предметы в этих комбинациях будут разные(то есть шар-куб,шар-пирамида,куб-пирамида берутся в расчет а шар-шар,куб-куб,пирамида-пирамида в расчет не идут)?
Есть ли какая-то формула?
P.S.Я понимаю что можно найти количество сочетаний для двух предметов а затем найти количество сочетаний для двух одинаковых предметов а затем из первого результат вычесть второй,но вдруг предметов(и их типов)будет сотни,тысячи.
Их же все так не пересчитаешь.

[Гость]

P.S.Я понимаю что можно найти общее количество сочетаний для двух предметов а затем найти количество сочетаний для двух одинаковых предметов а затем из первого результат вычесть второй,но вдруг предметов(и их типов)будет сотни,тысячи.

[Гость]

Да, есть формула, которая поможет решить эту задачу. Для начала, чтобы найти общее количество комбинаций, учитывая, что предметы должны быть разные, можно использовать формулу для комбинаций из разных наборов предметов.

Общее количество комбинаций будет равно сумме комбинаций между каждым набором предметов:

Количество комбинаций из шаров, кубов и пирамид по 2: $C_5^2$ для шаров, $C_4^2$ для кубов и $C_3^2$ для пирамид.
Суммируем результаты этих комбинаций.

Формула для комбинаций из n предметов, взятых по k штук, выглядит так:

$C_n^k=\frac{n!}{k!(n−k)!}$

Таким образом, общее количество комбинаций будет:

$C_5^2+C_4^2+C_3^2$

Давайте найдем значения для этих комбинаций:

$C_5^2=\frac{5!}{2!(5−2)!}=10$
$C_4^2=6$
$C_3^2=3$

Теперь сложим эти результаты:

10+6+3=19

Таким образом, общее количество комбинаций для выбора двух различных предметов из 5 шаров, 4 кубов и 3 пирамид составляет 19.

Эта формула может быть обобщена на случай большего количества типов предметов, позволяя рассчитывать общее количество комбинаций без необходимости перебора всех возможных вариантов вручную.

[Гость]

Как я писал выше я понимаю что можно найти количество комбинаций для каждого типа предметов а потом вычесть из общего количества комбинаций для двух карт.
НО
Что если предметов множество(скажем 1000) а типов предметов скажем 100,тогда нужно найти количество комбинаций для каждых типов а потом вычесть это результат из общего количества комбинаций?
Но это же долго.
Есть ли какой-то упрощенный вариант?

[Гость]

И 19 комбинаций это количество комбинаций в которых будут шар-шар,пирамида-пирамида и куб-куб,а нужно знать количество комбинаций в которых будут шар-пирамида,шар-куб,пирамида-куб,значит нужно из общего количества комбинаций(их 66)вычесть 19,получается 47.
То есть всего есть 47 комбинаций в которых будут шар-пирамида,шар-куб,пирамида-куб.
То есть те комбинации которые удовлетворяют требованию.

[Гость]

Есть ли другие варианты посчитать комбинации?

[Гость]

Да, есть еще один способ подсчета комбинаций, который может быть более общим и универсальным. Мы можем воспользоваться принципом сложения и вычитания для учета всех возможных комбинаций с разными типами предметов.

Обозначим множество шаров как A, множество кубов как B, и множество пирамид как C. Тогда мы ищем количество комбинаций, учитывая разные типы предметов.

Используем принцип сложения и вычитания:

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣

∣A∣=C(5,2) - количество комбинаций из шаров.

∣B∣=C(4,2) - количество комбинаций из кубов.

∣C∣=C(3,2) - количество комбинаций из пирамид.

∣A∩B∣=0 - не может быть одновременно шара и куба.

∣A∩C∣=0 - не может быть одновременно шара и пирамиды.

∣B∩C∣=0 - не может быть одновременно куба и пирамиды.

∣A∩B∩C∣=0 - невозможно выбрать один предмет из каждого типа.

Теперь подставим значения:

∣A∪B∪C∣=C(5,2)+C(4,2)+C(3,2)−0−0−0+0=10+6+3−0−0−0+0=19
Этот метод также дает нам 19, что соответствует предыдущему результату. Так что, несмотря на различные методы расчета, мы приходим к одному и тому же ответу.

[Гость]

Да, есть еще один способ подсчета комбинаций, который может быть более общим и универсальным. Мы можем воспользоваться принципом сложения и вычитания для учета всех возможных комбинаций с разными типами предметов.

Обозначим множество шаров как A, множество кубов как B, и множество пирамид как C. Тогда мы ищем количество комбинаций, учитывая разные типы предметов.

Используем принцип сложения и вычитания:

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣

∣A∣=C(5,2) - количество комбинаций из шаров.

∣B∣=C(4,2) - количество комбинаций из кубов.

∣C∣=C(3,2) - количество комбинаций из пирамид.

∣A∩B∣=0 - не может быть одновременно шара и куба.

∣A∩C∣=0 - не может быть одновременно шара и пирамиды.

∣B∩C∣=0 - не может быть одновременно куба и пирамиды.

∣A∩B∩C∣=0 - невозможно выбрать один предмет из каждого типа.

Теперь подставим значения:

∣A∪B∪C∣=C(5,2)+C(4,2)+C(3,2)−0−0−0+0=10+6+3−0−0−0+0=19
Этот метод также дает нам 19, что соответствует предыдущему результату. Так что, несмотря на различные методы расчета, мы приходим к одному и тому же ответу.

Это логичное обоснование вышесказанного.
Что нужно найти общее количество комбинаций для нескольких элементов и нужно найти количество комбинаций для нескольких одинаковых элементов,а затем из первого результата вычесть второй.
Получится результат равный количеству комбинаций в которых все комбинации будут разные.
Но.
Что если предметов не 12(как в примере)а 1000 а типов предметов не 3(как в примере,шары,кубы,пирамиды)а 100.
Тогда пересчет всех возможных комбинаций займет уйму времени.
Отсюда возникает логичный вопрос:
Есть ли универсальная формула(скажем по типу формулы для сочетаний С=n!/m!(n-m)!),подставив значения в которую можно получить уже готовый результат?
То есть результат без перебора различных вариантов.