Каков смысл среднеквадратического отклонения?

[Гость]

Изучаю самостоятельно теорию вероятности по учебнику Гмурмана. Добрел до понятия дисперсии среднеквадратического отклонения. В учебнике пишется, что данные величины характеризируют "рассеивание"
значений, которые может принять с.в., вокруг мат. ожидания оной. Дальше нашел формулу: σ(x1 + x2) = [tex]\sqrt{σ(x1)^2 + σ(x2)^2}[/tex]. Дальше провел симуляцию подбрасывания двух монет, то есть суммы двух случайных величин, 1 млн раз (распределение суммы случайных величин в данном случае такое: РР = 2; ОР = 3; ОО = 4; p(PP) = 0.25; p(OP) = 0.5; p(OO) = 0.25; M(x1+x2) = 1.5 + 1.5 = 3). Среднее арифметическое модуля отклонения от мат. ожидания вышло около 0.5. ( M(|(x1+x2)-M(x1+x2)|) = 0.5) При подбрасывании одной монетки среднее арифметическое модуля отклонения от мат. ожидания также 0.5. Среднеквадратическое отклонение суммы случайных величин вышло такое: σ(x1 + x2) = [tex]\sqrt{0.5}[/tex] [tex]\approx[/tex] 0.707.
Вопрос 1) По идее, если рассматривать сумму случайных величин, то среднее арифметическое модуля отклонения от мат. ожидания должно "накапливаться" с добавлением слагаемого, что не вижу на практике.
Вопрос 2) Что значит в данном контексте значит среднеквадратическое отклонение?

[Гость]

Вопрос 1) Среднее арифметическое модуля отклонения от математического ожидания действительно не будет "накапливаться" при добавлении слагаемых. Это связано с тем, что модуль отклонения от математического ожидания является абсолютным значением и не учитывает направление отклонения. Когда вы рассматриваете сумму случайных величин, среднее арифметическое модуля отклонения будет склоняться к определенному значению, которое называется стандартным отклонением.

Вопрос 2) Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) является мерой разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Оно показывает, насколько сильно значения случайной величины разбросаны вокруг своего среднего значения. Стандартное отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии, которая, в свою очередь, является средним квадратическим отклонением значений случайной величины от её математического ожидания.

Формула для стандартного отклонения двух случайных величин, которую вы привели [tex]\sigma(x1 + x2) = \sqrt{\sigma(x1)^2 + \sigma(x2)^2}[/tex], представляет собой формулу для вычисления стандартного отклонения суммы двух независимых случайных величин. В вашем примере, когда вы подбрасывали две монеты, вычисленное стандартное отклонение 0,707 указывает на то, что значения суммы двух монет имеют больший разброс вокруг своего среднего значения (3) по сравнению с отдельными монетами.

[Гость]

Но почему же тогда дисперсия (число, к которому стремится среднее арифметическое квадрата отклонения) при сумме случайных величин накапливается? Возведение отклонения в квадрат учитывает "направление" отклонения?