nathi123 » Чт окт 12, 2017 8:40 pm
Преобразуем так : [tex](n+1)^{k}=[n(1+\frac{1}{n})]^{k}=n^{k}(1+\frac{1}{n})^{k}\Rightarrow[/tex]
[tex]0 <( n+1)^{k}-n^{k}=n^{k}[(1+\frac{1}{n})^{k}-1]; (1+\frac{1}{n})^{k}=(\frac{n+1}{n})^{k}<(\frac{n+1}{n})^{1}[/tex] потому что [tex]\frac{n+1}{n}>1; k<0<1[/tex].
[tex]\lim_{n \to \infty}[( n+1)^{k}-n^{k}]=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{-k}}.\frac{1}{n}=0[/tex] .
Eсть теарема : Если [tex]a_{n }\le c_{n }\le b_{n }[/tex] и [tex]\lim_{n \to \infty}a_{n } = \lim_{n \to \infty} b_{n } =A \Rightarrow \lim_{n \to \infty}c_{n }=A[/tex].(Теорема о двух милиционеров или теперь полицейских).