Гость » Вт май 10, 2022 7:25 pm
I. Постановка задачи:
Прямой круговой конус имеющий высоту h и радиус основания r преобразуем путем изгиба по дуге так, чтобы высота h совпала с дугой окружности радиусом R. Изучим геометрические свойства полученного тела в сравненнии с исходным конусом.
II. Очевидно, что в результате такого преобразования получется тело, не равное исходному, так как изогнутый конус имеет новое свойство - дополнительный радиус кривизны.В отличии от исходного конуса, все образующие которого равны, у изогнутого конуса образующие имеют различную длинну и являются кривыми. Тем не менее некоторые параметры исходного тела будут равны аналогичным параметрам преобразованного. Во-первых радиусы основания r у обоих тел равны по условию задачи. Во-вторых равными окажутся и их объемы V, что будет показано ниже. В-третих длинна дуги направляющей окружности l равна высоте h исходного тела, опять же по условию задачи.
III. Вывод формул и построение сечений.
Сначала построим осевое сечение исходного тела.Им будет равносторонний трегуольник с основанием 2r, высотой h и углом при вершине [tex]\alpha[/tex]
Радиус произвольног сечения плоскостью, параллельной основанию, r0 можно найти по формуле r0=h0*tg( [tex]\alpha[/tex]/2), где h0 - расстояние от вершины конуса до секущей плоскости.
Так как угол [tex]\alpha[/tex] для каждого конкретного конуса является постоянным, можно принять k= tg( [tex]\alpha[/tex]/2), где k - угловой коэффициэнт, k=const.
Тогда уравнение (1) примет вид r0=k*h0 где h0 переменная зависящая от расстояния секущей плоскости от вершины. Это типичное уравнение первой степени с угловым коэффициэнтом.
Для построения сечения изогнутого конуса перейдём в полярную систему координат. В данном примере для наглядности длинна дуги окружности выбрана 1/4 от полной окружности.
Построим сечение изогнутого конуса плоскостью, заданной центром координат, вершиной конуса и центром основания конуса. Очевидно,
что дуга окружности изгиба лежит в этой же плоскости. В ней же находятся радиус R а также наибольшая и наименьшая образующая изогнутого конуса.Преобразуем уравнение (1), заменив высоту h0 на длинну дуги окружности l0, равную [tex]\varphi[/tex][tex]\frac{pi R }{180}[/tex] h0=k [tex]\varphi[/tex] [tex]\frac{pi R}{180}[/tex] (2) для градусной меры угла [tex]\varphi[/tex].
Однако в нашем примере удобней будет использовать радианы.
Кривые, частью дуг которых будут наибольшая и наименьшая образующая изогнутого конуса задаются в полярной системе координат уравнениями вида:
[tex]\triangle[/tex]R=R [tex]\pm[/tex]kR[tex]\varphi[/tex] (3)
где [tex]\triangle[/tex]R приращние иходного радиуса изгиба R.
Так как по условиям задачи R=const для каждого конкретного конуса,
имеем два уравнения первой степени с одной переменной ([tex]\varphi[/tex]) в полярной системе координат.
Обозначим радиальную координату точек дуги наибольшей образующей изогнутого конуса Rвнеш. т.к. эта дуга является внешней по отношению к дуге изгибающей окружности.
Радиальную координату наименьшей образующей аналогично обозначим Rвнут.
Rвнеш=R+kR[tex]\varphi[/tex]
Rвнут=R-kR[tex]\varphi[/tex]
Площадь сечения криволинейной фигуры, заданой образующими изогнутого конуса и его основанием 2r найдем по формуле S=S(Rвнеш)-S(Rвнут), где S(Rвнешн),S(Rвнут) соотвественно площади криволинейных фигур, ограниченных дугами Rвнешн,Rвнут и осями координат.
Применив интегралы получим:
S= [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\int\limits_{0}^{\pi/2}[ R+\varphi kR]^{2 }[/tex]d[tex]\varphi[/tex]- [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\int\limits_{0}^{ \pi/2}[ R-\varphi kR]^{2 }[/tex]d[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{k R^{2} \pi^2}{4}[/tex]
Так как на итервале 0; [tex]\pi[/tex]/2 длинна дуги окружности l равна R[tex]\pi[/tex]/2 a высота h=l по условию задачи, можем выразить r через k:
r=kh=kR[tex]\pi[/tex]/2
Площадь осевого сечения прямого кругового конуса равна S=rh=(kR[tex]\pi[/tex]/2)(R[tex]\pi[/tex]/2)= [tex]\frac{kR^{2}\pi^2}{4}[/tex]
Мы доказали равенство площадей сооответствующих сечений исходного и преобразованного тела.
Продолжение следует...
- Вложения
-
- tmp_28992-чертежик-411837021.jpg (63.21 КБ) Просмотров: 787
I. Постановка задачи:
Прямой круговой конус имеющий высоту h и радиус основания r преобразуем путем изгиба по дуге так, чтобы высота h совпала с дугой окружности радиусом R. Изучим геометрические свойства полученного тела в сравненнии с исходным конусом.
II. Очевидно, что в результате такого преобразования получется тело, не равное исходному, так как изогнутый конус имеет новое свойство - дополнительный радиус кривизны.В отличии от исходного конуса, все образующие которого равны, у изогнутого конуса образующие имеют различную длинну и являются кривыми. Тем не менее некоторые параметры исходного тела будут равны аналогичным параметрам преобразованного. Во-первых радиусы основания r у обоих тел равны по условию задачи. Во-вторых равными окажутся и их объемы V, что будет показано ниже. В-третих длинна дуги направляющей окружности l равна высоте h исходного тела, опять же по условию задачи.
III. Вывод формул и построение сечений.
Сначала построим осевое сечение исходного тела.Им будет равносторонний трегуольник с основанием 2r, высотой h и углом при вершине [tex]\alpha[/tex]
Радиус произвольног сечения плоскостью, параллельной основанию, r0 можно найти по формуле r0=h0*tg( [tex]\alpha[/tex]/2), где h0 - расстояние от вершины конуса до секущей плоскости.
Так как угол [tex]\alpha[/tex] для каждого конкретного конуса является постоянным, можно принять k= tg( [tex]\alpha[/tex]/2), где k - угловой коэффициэнт, k=const.
Тогда уравнение (1) примет вид r0=k*h0 где h0 переменная зависящая от расстояния секущей плоскости от вершины. Это типичное уравнение первой степени с угловым коэффициэнтом.
Для построения сечения изогнутого конуса перейдём в полярную систему координат. В данном примере для наглядности длинна дуги окружности выбрана 1/4 от полной окружности.
Построим сечение изогнутого конуса плоскостью, заданной центром координат, вершиной конуса и центром основания конуса. Очевидно,
что дуга окружности изгиба лежит в этой же плоскости. В ней же находятся радиус R а также наибольшая и наименьшая образующая изогнутого конуса.Преобразуем уравнение (1), заменив высоту h0 на длинну дуги окружности l0, равную [tex]\varphi[/tex][tex]\frac{pi R }{180}[/tex] h0=k [tex]\varphi[/tex] [tex]\frac{pi R}{180}[/tex] (2) для градусной меры угла [tex]\varphi[/tex].
Однако в нашем примере удобней будет использовать радианы.
Кривые, частью дуг которых будут наибольшая и наименьшая образующая изогнутого конуса задаются в полярной системе координат уравнениями вида:
[tex]\triangle[/tex]R=R [tex]\pm[/tex]kR[tex]\varphi[/tex] (3)
где [tex]\triangle[/tex]R приращние иходного радиуса изгиба R.
Так как по условиям задачи R=const для каждого конкретного конуса,
имеем два уравнения первой степени с одной переменной ([tex]\varphi[/tex]) в полярной системе координат.
Обозначим радиальную координату точек дуги наибольшей образующей изогнутого конуса Rвнеш. т.к. эта дуга является внешней по отношению к дуге изгибающей окружности.
Радиальную координату наименьшей образующей аналогично обозначим Rвнут.
Rвнеш=R+kR[tex]\varphi[/tex]
Rвнут=R-kR[tex]\varphi[/tex]
Площадь сечения криволинейной фигуры, заданой образующими изогнутого конуса и его основанием 2r найдем по формуле S=S(Rвнеш)-S(Rвнут), где S(Rвнешн),S(Rвнут) соотвественно площади криволинейных фигур, ограниченных дугами Rвнешн,Rвнут и осями координат.
Применив интегралы получим:
S= [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\int\limits_{0}^{\pi/2}[ R+\varphi kR]^{2 }[/tex]d[tex]\varphi[/tex]- [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\int\limits_{0}^{ \pi/2}[ R-\varphi kR]^{2 }[/tex]d[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{k R^{2} \pi^2}{4}[/tex]
Так как на итервале 0; [tex]\pi[/tex]/2 длинна дуги окружности l равна R[tex]\pi[/tex]/2 a высота h=l по условию задачи, можем выразить r через k:
r=kh=kR[tex]\pi[/tex]/2
Площадь осевого сечения прямого кругового конуса равна S=rh=(kR[tex]\pi[/tex]/2)(R[tex]\pi[/tex]/2)= [tex]\frac{kR^{2}\pi^2}{4}[/tex]
Мы доказали равенство площадей сооответствующих сечений исходного и преобразованного тела.
Продолжение следует...
Меню