[tex]y= \frac{2x+1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}\Rightarrow y'= \frac{1}{(x+1)^{2}}.[/tex] Пусть уравнения касательных y = kx +b . Так как касательные должны быть перпендикулярными прямой y +x+7=0 [tex]\Leftrightarrow y = -x-7[/tex] ,то k(-1)=-1 т.е. k=1 . Тогда уравнения касательных y = x+b.
Пусть [tex](x_{0 },y_{0 })[/tex]- являются координатами точки M - касания графика и касательной. Тогда [tex]y'(x_{0 })=k=1\Rightarrow 1=\frac{1}{(x_{0 }+1)^{2}}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x_{0 }^{2}+2x_{0 }=0\Leftrightarrow x_{0 }=0\cup x_{0 }=-2\Rightarrow y({0 })=2-\frac{1}{1}=1\Rightarrow y=b=1\Rightarrow y=x+1[/tex]- уравнение касательной в точке М(0,1) и перпендикулярной прямой y = -x -7.
Когда [tex]x_{0 }=-2\Rightarrow y(-2)=2-\frac{1}{-2+1}=3\Rightarrow b=3-(-2)=5\Rightarrow[/tex] M(-2,3) ; y=x+5 - уравнение касательной в точке M(-2,3) и перпендикулярной прямой y = -x -7.

Составить уравнения касательных к графику функции[tex]\frac{2x+1}{x+1}[/tex] , перпендикулярных прямой y+x+7=0