Если ЧИСЛА указаны без единиц измерения, то это просто ТОЧКИ на числовой оси координат.
НУЛЬМЕРНЫЕ точки, которые расположены на ПРЯМОЙ линии (1D) на одинаковом расстоянии друг от друга - как бы на ЗАДАННОЙ дистанции!
Если измеряется ДЛИНА (1D), то на числовой оси - это суть РАЗНИЦА (разность, расстояние) между двумя точками на одной линии.
Если имеется в виду ПЛОЩАДЬ (2D), то это уже ПРОИЗВЕДЕНИЕ (длины по оси Х на ширину по оси Y).
Но для измерения ДЛИНЫ (1D) кривых линий и ПЛОЩАДИ (2D) криволинейных контуров необходимо ЗНАТЬ их расположение относителльно ПЛОСКОСТЕЙ координат ХY.
И тогда "геометризация криволинейных поверхностей" не может отображаться "квадрадратно-метрическим методом" - как это пытаются сделать некоторые составители "табличных ЧИСЛОВЫХ МАТРИЦ"!

[quote]чтобы это ПОКАЗАТЬ наглядно, необходимо саму числовую ось ЗАМКНУТЬ "на себя", чтобы графически такая последовательность представляла собой т.н. "рекурсивный ГРАФ" (замкнутую линию).[/quote]
Если числовую ось "замкнуть на себя", то тогда получится окружность, но если мы нанесли числа на ЛЕНТУ, то для того, чтобы СО-единить оба конца (замкнуть множество) надо определить не только ПЕРВОЕ, но и ПОСЛЕДНЕЕ число такой последовательности.
[b]"И последние станут первыми"[/b] - а это противоречит условиям задачи, потому что КАЖДЫЙ последующий член последовательности ДОЛЖЕН быть обозначен номером N, который больше предыдущего номера на ЦЕЛОЕ число!
В таком случае это уже не окружность, а СПИРАЛЬ, которая начинается с первого номера = 1, но после полного оборота переходит на другой уровень в соответствии с заданным алгоритмом.
Если принять количество единиц в одном обороте спирали равном 7, то восьмой член такой последовательности будет являться ПЕРВЫМ членом второго уровня (8 = 7 + 1)... и т д. И тогда закономерность появления "нужных" чисел можно определить по "красным точкам" на пересечении спирали с границами секторов. Такая СХЕМА будет более наглядной, чем "табличная матрица"!

[quote]найти источники, в которых изложена соответствующая теория или решены аналогичные задачи[/quote]
Тоже совершенно правильный подход!
Матричный способ (как таблица умножения Пифагора) в этом случае абсолютно НЕ ПОДХОДИТ, потому что числовые ряды (периоды алгоритма) в матрице не являются РЕКУРСИВНЫМИ.
"Чтобы вычисление завершалось для какого-то конкретного числа N, необходимо, чтобы для некоторых n функция была определена нерекурсивно. например, для n = 0,1 (конец цитаты). Но по условию "задачи" аргумент должен быть задан НАТУРАЛЬНЫМИ числами, а не десятичной дробью!
Ещё одна цитата - и становится понятно, что это задача не имеет решения в ТЕОРИИ ЧИСЕЛ:
[quote]Рекурсивные функции играют важную роль в теории алгоритмов, так как многие алгоритмы имеют рекурсивную структуру[/quote]

Стало быть "вопрос с натуральными числами" ИСЧЕРПАН, о чём уже неоднократно сообщалось Автору этого "как бы вопроса"!
Но чтобы это ПОКАЗАТЬ наглядно, необходимо саму числовую ось ЗАМКНУТЬ "на себя", чтобы графически такая последовательность представляла собой т.н. "рекурсивный ГРАФ" (замкнутую линию). А этим "вопросом" как раз и занимается ТОПОЛОГИЯ, а не "теория чисел"!

[quote="Andy"]Формула, которую я Вам указал, выведена не мной. Я заимствовал её с другого форума. Как сообщает автор этой формулы, он вывел её, рассматривая рекуррентно заданную последовательность. Честно говоря, мне не хочется беспокоить этого человека снова. Обычно, если у меня возникает какая-либо математическая проблема, я стараюсь найти источники, в которых изложена соответствующая теория или решены аналогичные задачи. Почему бы Вам не поступить так же? ;)[/quote]

Совершенно правильный ответ!
Смысл этой "задачки" содержится в самом тексте - ЧТО требуется найти, так ведь?
Формулу НАШЛИ в другом форуме, значит такая формула существует1
Но нашего уважаемого "Гостя" это найденной решение чем-то не устраивает, поэтому он предлагает СВОЁ "решение". Но не в виде алгебраической "формулы", а как частное решение "в табличном виде" - типа "матрицы" из натуральных чисел от 1 "до бесконечности".
А что МЫ получили "из подсказки с другого Форума"?
[quote]Как сообщает автор этой формулы, он вывел её, рассматривая рекуррентно заданную последовательность.[/quote]
То есть, такая последовательность должна быть задана РЕКУРСИВНОЙ ФУНКЦИЕЙ, а не последовательностью порядковых чисел (номеров) на бесконечной числовой оси координат: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0 ... 0%B8%D1%8F

Кстати!
Если мы разрежем окружность ровно на две части, то длину КАЖДОЙ половины можно обозначить нечётным числом!
А если потом соединить концы каждой полуокружности, то получится уже ДВЕ одинаковые окружности, диаметр каждой из которых станет в два раза меньше! Но соотношение 11 : 3,5 всё так же будет показывать постоянный коэффициент
[tex]\pi[/tex] = 3,142857142857... ...
А если соединить все четыре конца в ОДНОЙ точке, то получиться фигура "гомеоморфная" ВОСЬМЁРКЕ - как символ "бесконечности"!

Натуральные числа ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ как сумма ЦЕЛОГО и составных частей (долей) этого целого.
Если замкнуть числовую линию (1D), то есть соединить концы в ОДНОЙ (нулевой) точке, то получится ЦЕЛАЯ (неразрезанная) окружность "О".
Соотношение длины ЛЮБОЙ окружности к длине диаметра ЭТОЙ окружности - всегда имеет одно и тоже ЗНАЧЕНИЕ (величину) = [tex]\pi[/tex].
Поэтому можно показать этот КОЭФФИЦИЕНТ простыми числами от 1 до 7:
[b](1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) : 7 + 1 : 7 = 22/7[/b]
В переводе на десятичную систему эта запись принимает "общеизвестный вид":
[b]3 + 0,142857 = 3,142857 [/b]
А если УВЕЛИЧИТЬ диаметр в семь раз, то и длина окружности так же увеличится ровно в семь раз:
[b]154/49 = 3,142857[/b]
[b]1078/343 = 3,142857[/b]
И сразу зметно, что в любом случае ЧЁТНЫХ чисел меньше, чем НЕчётных"... Вот такая получается "несимметричность" НАТУРАЛЬНЫХ множеств!

[quote]Это легко определяется по "признакам деления"[/quote]
Если натуральные ЧИСЛА расположить на прямой линии, то получится вот такая "картинка":
И сразу вопрос: ЧИСЛО определяется точкой, линией или "кружочком"?... или "квадратиком на линии"???
На схеме заданные числа (чётные) представлены ЦИФРАМИ на сером фоне, потому что иначе [b]белые числа на белом фоне[/b] будут никакими, ... то есть, "нулевыми"!

[quote]на какие виды четных можно класcифицировать натуральный ряд[/quote]
Ну например, можно выделить ТРИ "вида чётных" и классифицировать их "по цвету" - синие, красные и белые.
Синие чётные делятся на ТРИ, а красные НЕ ДЕЛЯТСЯ. Это легко определяется по "признакам деления".
При этом пусть красные делятся НА СЕМЬ, а белые на семь НЕ ДЕЛЯТСЯ.

Периодичность таких ЧЁТНЫХ чисел в "квадратно-матричную форму" Вы не поместите, но представить такое МНОЖЕСТВО можно графически:

[quote]исследования наконец завершить показом закономерности простых чисел в натуральном ряде[/quote]
Ну да!
Требуется ПОКАЗАТЬ ГРАФИЧЕСКИ, а не "в табличном виде". Этим как раз и занимается топология - определяет ГРАФЫ (каналы связи), соединяющие отдельные координаты точек в пространстве.
Координаты точек - это и есть "просто числа", без указания единиц измерения.
В декартовой СИСТЕМЕ координат каждой точке пространства соответствует ТРОЙКА чисел (Х; Y и Z). Но "сами по себе" эти точки никакими другими параметрами НЕ ОБЛАДАЮТ и никакими "мерками" на части НЕ ДЕЛЯТСЯ! А числовая последовательность на КАЖДОЙ из осей координат - это просто НУМЕРАЦИЯ таких точек для определения позиции каждой точки относительно соседних точек.
Но "в натуре" такие линии (связи между материальными точками) не всегда бывают прямыми, и даже чаще всего это именно [b]КРИВЫЕ линии и криволинейные поверхности[/b]. А прямоугольная система координат, построенная на ТРЁХ взаимно перпендикулярных ПЛОСКОСТЯХ "не имеющих пределов" - это слишком ЧАСТНЫЙ случай, который может применяться только ЛОКАЛЬНО, в частности - для строительства КУБИЧЕСКИХ объектов.
А если "рассматривать закономерности" в ТАБЛИЧНОЙ МАТРИЦЕ, то никакого представления о НАТУРАЛЬНОСТИ таких рядов не получается.
Да и в самой "теории чисел" давно существует т.н. "проблема оптимальной остановки", которая на БЕСКОНЕЧНЫХ рядах решена быть не может!

В Древней Истории такой "экстремальный вариант" известен как Гордиев УЗЕЛ, но это тоже не есть ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ проблемы...
По преданию Александр Македонский просто РАССЁК этот узел своим мечом.
Но по свидетельству Аристобула Македонский просто ЗНАЛ секрет этого узла и вынул "гестор" из начального конца ремня, то есть "просто" расстегнул пряжку! ТопоЛОГИЧЕСКИ это можно определить так: запутанный узел Гордия - это ЗАМКНУТАЯ полоса (ремень) на каком-то замкнутом КОЛЬЦЕ. Если РАЗЪЕДИНИТЬ одно из этих колец, то эта "запутанное множество" представляется ОТРЕЗКОМ, у которого ДВА КОНЦА, которые "просто" вытягиваются из узла как нитка из кольца. В топологии это определяется КОЭФФИЦИЕНТОМ ЗАЦЕПЛЕНИЯ колец.
Знающие "айтишники" говорят, что такие коэффициенты используются и в технологии "block-chain", но лично я в этой технологии "ни бум-бум"... :?

Если честно четные разных видов существують и их не так и мало ,встречный вопрос все ли виды четных одинаковом количестве представленый в натуральном ряде и на какие виды четных можно класcифицировать натуральный ряд? Аналогично нечетние числа. Топология без классификации чисел как то без глаз, вслепую сравнивет как будто идентичные предикты . Теория чисел также остро нуждаеться в такой классификации, чтоб 3000 летные исследования наконец завершить показом закономерности простых чисел в натуральном ряде, а не баснями о каком то хаосе.

[quote="Rados"][quote]
Каких чисел БОЛЬШЕ - чётных или НЕчётных?[/quote][/quote]

Вариантов "правильного" ответа может быть НЕСКОЛЬКО!
Вот здесь один из таких вариантов - ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ: https://www.math10.com/ru/forum/viewtop ... =46&t=2910

[quote]при правильной классификации чисел по видам[/quote]
И сразу "вопрос":
Каких чисел БОЛЬШЕ - чётных или НЕчётных?

Для понимания всех этих линии существуют прогрессии и виды чисел ,при правильной классификации чисел по видам, появляется глобальная закономерность как простых так и всех чисел. Что самое интересное получаем мини математику т.е в 5 классе ребенек будет владет всеми пупер супер комбинаторикой чисел, непонятных сегодня и для спецов маленькой миниатюрной табличкой . И как раз закономерность простых чисел дает нам эту возможность .

[quote]линии более осмысленые до изоморфности несут полезные информации[/quote]
Компьютерная программа сама НЕ ОСМЫСЛИВАЕТ (не придаёт ЗНАЧЕНИЯ) числам как величинам (мерам), а оперирует только координатами (точками).
Общая точка ДВУХ линий (графиков) на плоскости координат (XY) показывает СОВПАДЕНИЕ (пересечение) этих двух линий в пространстве XYZ при Z= 0 (зеро). [b]ВЕЛИЧИНА этой точки никакого измерения не имеет! [/b]
Замкнутая линия (геометрический контур фигуры) может состоять из МНОЖЕСТВА рёбер разной длины, которые СОЕДИНЯЮТСЯ между собой без разрывов (интервалов или пауз), а сами эти "рёбра" - как ЧАСТИ одной линии могут быть либо прямыми отрезками, либо дугами. Эти "части целого" (линии 1D) могут быть РАВНЫМИ или НЕравными по длине, но ОДИНАКОВЫМИ "по модулю". Например, длина одного ребра = 3 (1+1+1) , а другого ребра = 4 (1+1+1+1). При этом подразумевается, что 1 = 1, но 3 не равно 4, потому что у этих отрезков ОДНА МЕРА - линейная единица длины.
Если 4 такие линии СОЕДИНИТЬ между собой, то такая фигура будет называтьСЯ "четырёхугольником" ... но "нефакт", что это КВАДРАТ!
Можно также СОСТАВИТЬ и другой 4-угольник (например синий), который будет иметь такую же длину по периметру (как и красный), но состоять из 4 разных отрезков... но "нефакт", что два этих ЛИНЕЙНЫХ МНОЖЕСТВА будут "конгруэнты".
В трёхмерном пространстве координат (XYZ) каждая из восьми вершин этих многоугольников будет обозначена РАЗНЫМИ цифрами, например - от 1 до 8
А при отображении этих двух ФИГУР (двух линейных множеств) может получиться "символ бесконечности", шибко похожий на "восьмёрку из двух замкнутых линий". Если "придать ЗНАЧЕНИЕ" одной бесконечности (синей, например) - как "минус бесконечность", то все числа на этой линии как бы ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ! Тогда у другой ТАКОЙ ЖЕ по длине "бесконечности" все числа будут ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ.
Тогда эти последовательности ДОЛЖНЫ пересекаться в ОДНОЙ точке (О).
Но такой ОБЩЕЙ ТОЧКИ у этих "бесконечных множеств" может и не быть вообще!
В топологии это определяется т.н. "коэффициентом зацепления колец". То есть, сразу можно ОПРЕДЕЛИТЬ: есть у этих ДВУХ множеств (последовательностей) ОБЩАЯ "точка пересечения" - как ОБЩАЯ координата (X ; Y ; Z) или такой точки не может быть вообще?!
А ПОКАЗАТЬ это графически можно даже на ПЛОСКОМ экране Вашего монитора - вообще без фсяких цифр, букв, чисел и формул!
Теперь ферштейн?

"Вооот какие безобразия творит Мировая буржуАЗИЯ!" :o

[quote]Какой программой вы работаете и еще с цветом ?[/quote]
Это такая КОМПЬЮТЕРНАЯ программа, которая "сама работает", а Я только кнопки нажимаю - ПАЛЬЧИКАМИ! ;)
Я уже Вам писал "обо всём сразу":
ЛЮБОЕ живое существо начинает СО-ОБРАЖАТЬ [b]самостоятельно[/b] только в т.н. "уловиях неопределённости и чрезвычайного риска".
Формула для определения такой СИТУАЦИИ очень "простая": ЧГК = что х ГДЕ х когда.
Любое ОТ-ОБРАЖЕНИЕ действительности требует "определения НАПРАВЛЕНИЯ": ... слева направо=или=справа налево ... ПО часовой стрелке(+)=или=ПРОТИВ часовой стрелке (-) ... замкнутая линия (траектория)=или=НЕзамкнутое пространство ...
А "самая простая математика" = это АРИФМЕТИКА, которая отвечает на вопрос "СКОЛЬКО БУДЕТ 2х2"?

Вот Вы же так и НЕ ОТГАДАЛИ загадку "про левую или правую руку", которую ВАМ показывал "кто-то" на экране ВАШЕГО монитора?
А почему? По телику ведь уже НЕСКОЛЬКО РАЗ показывали "про левую и правую" палочки Twiks?!!
На фотографии (неподвижном изображении без звука) и так ПОНЯТНО, что "ЭТО просто такой ФОКУС", показанный с помощью программы "фотоШОП"!
А если Я, например, дополнительно НАПИШУ на этой фотке какие-нибудь ЦИФРЫ и БУКВЫ, то фсе сразу ДОГАДАЮТСЯ, что это какая-то "математическая дребедень" ИЗ ТЕОРИИ чисел .. ... но не про деньги, а "просто для РАЗНООБРАЗИЯ"...
Если это НЕ ИНТЕРЕСНО, то тогда надо считать "на ПРОСТЫХ палочках" как в ПЕРВОМ КЛАССЕ и при этом НЕ ЗАБЫВАТЬ "правило Декарта":
[b]ПАЛОЧКИ ДОЛЖНЫ БЫТЬ ПОПЕНДИКУЛЯРНЫ! [/b]

Но Математика всё-таки РАЗВИВАЕТСЯ ... ... "несмотря на фсё"... :lol:

Какой программой вы работаете и еще с цветом ? Не кратные 3 и так легко виделить а попробуйте такой простенкой формулой охватит не кратные 2-3-5-11 .

Линии конечно без знания других предиктов ничего полезного не показывають, а вот линии более осмысление до изоморфности несут полезные информации .

Вот такая ... панимаш .. ЗАГУГОЛИНА получаетца!

А можно было и не чертить, а просто написать эту последовательность даже БЕЗ ФОРМУЛЫ!
[b]1[/b] (+4) 5 (+2) 7 (+4) 11 (+2) 13 (+4) 17 (+2) [b]19[/b] (+4) 23 (+2)
Период видно "невооружённым глазом": если сумма цифр = 10, то это простое число (в десятичной системе) НЕДЕЛИЦА, а "полшага назад" (-2) - это СОСЕД "через дом".
Всё это "упорядоченное МНОЖЕСТВО" легко разбивается на ЦИКЛЫ, которые компьютер ВЫДЕЛЯЕТ отдельным цветом:
Последний (восьмой цикл) можно закончить числом 720 (40х3х6) и прибавить "завершающую единицу".

[quote]подсказали такую формулу для нечетных не кратных 3[/quote]
Формула, конешно, ВЕЛИКОЛЕПНАЯ!
А как её "объяснить" компьютеру, чтобы ОН начертил (и показал НАМ) этот алго-РИТМ в графическом виде - линиями и точками на плоскости (2D)?
Да и "простым инженеграм" такая "матрица" - таблица с множеством ЦИФР - ничего ПОЛЕЗНОГО даже "не обещает"!

А чтобы ПОНЯТЬ САМИМ, надо просто сравнить [b]ТРИ числа[/b] из этой таблицы: 1 ... 361 ... и 721 (которого в таблице ЕЩЁ НЕТУ).
Можно продолжать эту "спираль" хоть до бесконечности: 721 ...1081... 1441...1801... 2161... и тд ...
[b]И ЧО[/b]?!! :lol: