ГРАФИЧЕСКИ такое "уравнение" можно тоже ПОКАЗАТЬ точками(0D):
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
Семь рядов по семь точек в каждом ряду - это будет ... примерно 7 х 7 = 49
И никаких "квадратных метров" для этого нам не понадобилось! А в тетрадке "по математике" клеточки уже нарисованы заранее!
Поэтому каждую точку можно представить как место пересечения взаимно перпендикулярных ЛИНИЙ...
Например, вот так:

Можно даже построить такую "треугольную матрицу" вообще без всяких цифр (римских, арабских или египетских), чтобы "не заморачиваться" на единицах ИЗМЕРЕНИЯ... Известно ведь ещё от Евклида, что "Точка не имеет никакого измерения", то есть ВСЕ точки одинаково "нульмерные"!
Заменим все цифры в "треугольной матрице" на ГЕО-метрические точки:

.
...
.....
.......
.........
...........
.............

Размер каждой точки (0D) не имеет значения, но КОЛИЧЕСТВО таких точек в каждом ряду можно посчитать даже БЕЗ калькулятора!
Примерно так же, как в примере с "египетским" треугольником, составленном из треугольников меньшего раз-МЕРА!
Всего в семи рядах получилось ровно 49 точек, что соответствует алгебраическому ПРОИЗВЕДЕНИЮ 49 = 7 х 7 или "проще говоря" 49 = [tex]7^{2 }[/tex]!
Но никакого "квадрата" МЫ здесь не увидим даже под МИКРОскопом!

Получаются своеобразные треугольники-"матрёшки" !

1
121
12321
1234321
123454321
12345654321
1234567654321
123456787654321
12345678987654321
1234567890987654321

Если аналогично нарисовать ДЕСЯТЬ таких рядов, то треугольник получится ПРЯМО-УГОЛЬНЫМ!
А "матрёшки" обычно бывают СФЕРИЧЕСКИМИ, а не кубическими или квадратными!
При этом цифра "ноль" окажется в середине основания этого прямоугольного треугольника!

Таким образом, ВСЕ эти математические треугольники как бы ПОСТРОЕНЫ из ИЗНАЧАЛЬНЫХ треугольников, составленных из одних ЕДИНИЦ.

1 * 1 = ………………… .... 1
11 * 11 = …………………. 121
111 * 111 =…………….. 12321
1111 * 1111 =……….. 1234321
11111 * 11111 =….. 123454321
111111 * 111111 = 12345654321

Получаются своеобразные треугольники-"матрёшки" !
Треугольники математического "лего" ?

И соответственно В КАЖДОМ из этих треугольных математических квадратов чисел -- есть последовательность
…………………………………1.3.6.10.15.21.15.10.6.3.1.

1 * 1 = ………………… ...………………... ....1 = 1
11 * 11 = …………………………………... 1.+.2.+.1 = 4
111 * 111 =………………….……... 1.+.2.+.3.+.2.+.1 = 9
1111 * 1111 =………………... 1.+.2.+.3.+.4.+.3.+.2.+.1 = 16
11111 * 11111 =….. …. 1.+.2.+.3.+.4.+.5.+.4.+.3.+.2.+.1 = 25
111111 * 111111 = 1.+.2.+.3.+.4.+.5.+.6.+.5.+.4.+.3.+.2.+.1 = 36

Что, конечно, ИНТЕРЕСНО и таки что-то ОЗНАЧАЕТ ...

ВСЕ эти КВАДРАТЫ являются РЕЗУЛЬТАТОМ умножения

Потому что это ТАК устроен современный калькулятор!
Вы лучше шибко не умничайте, уважаемый непризнанный Гений Математики, а просто попробуйте НАРИСОВАТЬ КВАДРАТ, равный по площади "египетскому" треугольнику!

Да, посредственным людишкам с верхним образованием НЕ разглядеть -- что ВСЕ эти КВАДРАТЫ являются РЕЗУЛЬТАТОМ умножения последовательности арабских цифр 123456789
НАПРИМЕР :

88 * 88 =………………….. 7744 = 64 * 121
888 * 888 =…………….. 788544 = 64 * 12321
8888 * 8888 =……….. 78996544 = 64 * 1234321
88888 * 88888 =….. 7901076544 = 64 * 123454321
888888 * 888888 = 790121876544 = 64 * 12345654321
-------------------------------

77 * 77 =………………….. 5929 = 49 * 121
777 * 777 =…………….. 603729 = 49 * 12321
7777 * 7777 =……….. 60481729 = 49 * 1234321
77777 * 77777 =….. 6049261729 = 49 * 123454321
777777 * 777777 = 604937061729 = 49 * 12345654321
--------------------------------

33 * 33 =………………….. 1089 = 9 * 121
333 * 333 =…………….. 110889 = 9 * 12321
3333 * 3333 =……….. 11108889 = 9 * 1234321
33333 * 33333 =….. 1111088889 = 9 * 123454321
333333 * 333333 = 111110888889 = 9 * 12345654321

И ТАК ДАЛЕЕ !

ПРИНЦИП, в общем, ПОНЯТЕН ! Даже людишкам с верхним образованием ...

Вообще-то "чисто ГЕО-метрически" эти Ваши "треугольники" , уважаемый гениальный исследователь С. Цимбалюк, больше похожи на усечённые ПИРАМИДКИ, составленные из "арабских" цмфр. А если "чисто алгебраически", то перемножение двух одинаковых чисел даёт в результате ПРОИЗВЕДЕНИЕ, называемое "квадратом":
N х N = [tex]N^{2 }[/tex]
Но в современной системе ИЗМЕРЕНИЙ за единицу расстояния (1D) принят МЕТР, который состоит из более мелких единиц:
1м = 10 дм = 100 см = 1000 мм
А площадь поверхности (2D) ИЗМЕРЯЕТСЯ "квадратными" метрами, дециметрами, сантиметрами и миллиметрами. То есть, если "просто" НЕ УКАЗЫВАТЬ наименование единиц измерения, то такая "цифровизация" никакого ПРАКТИЧЕСКОГО применения не имеет. Такие числа, изображённые в Ваших "треугольных матрицах", называются НЕименованными или ОТВЛЕЧЁННЫМИ - в отличие от Именованных (имеющих МЕРУ).
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0 ... 0%BB%D0%B0

А Цимбалюку всё простительно -- Я ведь посчитал и написал эту статейку всего-то ДВОЕ СУТОК назад !

Сутки тоже имеют измерение, но никаких "квадратных минут" ещё НИКТО не изобретал!

В ОДНОМ КВАДРАТНОМ градусе поверхности Земли НА ЭКВАТОРЕ

Квадратные градусы - это, конечно, тоже забавно, но для "людишек с верхним образованием" это уже совсем НЕ ИНТЕРЕСНО!
То есть, это даже не арифметика, а нечто ДРУГОЕ!

10 * 10 =……………………...........................100
1010 * 1010 =………………………………….........1020100
101010 * 101010 =…………………………………10203020100
10101010 * 10101010 =………………………102030403020100
1010101010 * 1010101010 =………….1020304050403020100
101010101010 * 101010101010 = 10203040506050403020100
-------------------------------

11 * 11 =……………………........................….121
1111 * 1111 =………………………………….........1234321
111111 * 111111 =…………………………………12345654321
11111111 * 11111111 =………………………123456787654321
1111111111 * 1111111111 =………….1234567900987654321
111111111111 * 111111111111 = 12345679012320987654321
--------------------------------

14 * 14 =……………………...........................196
1414 * 1414 =………………………………….........1999396
141414 * 141414 =………………………………..19997919396
14141414 * 14141414 =………………………199979589919396
1414141414 * 1414141414 =………….1999795938789919396
141414141414 * 141414141414 = 19997959391858789919396

-------------------------------

12 * 12 =……………………...........................144
1212 * 1212 =………………………………….........1468944
121212 * 121212 =…………………………………14692348944
12121212 * 12121212 =………………………146923780348944
1212121212 * 1212121212 =………….1469237832580348944
121212121212 * 121212121212 = 14692378328712580348944
---------------------------------

13 * 13 =……………………............................169
1313 * 1313 =………………………………….........1723969
131313 * 131313 =…………………………………17243103969
13131313 * 13131313 =………………………172431381103969
1313131313 * 1313131313 =………….1724313845181103969
131313131313 * 131313131313 = 17243138455225181103969
---------------------------------

14 * 14 =…………………….........................196
1414 * 1414 =………………………………….......1999396
141414 * 141414 =……………………………….19997919396
14141414 * 14141414 =…………………….199979589919396
1414141414 * 1414141414 =………….1999795938789919396
141414141414 * 141414141414 = 19997959391858789919396
---------------------------------

15 * 15 =…………………….........................225
1515 * 1515 =………………………………….......2295225
151515 * 151515 =……………………………….22956795225
15151515 * 15151515 =…………………….229568406795225
1515151515 * 1515151515 =………….2295684113406795225
151515151515 * 151515151515 = 22956841138613406795225

ПРИНЦИП, в общем, ПОНЯТЕН ! Даже людишкам с верхним образованием ...
-------------------------------

34 * 34 =…………………….........................1156
3434 * 3434 =………………………………….......11792356
343434 * 343434 =……………………………….117946912356
34343434 * 34343434 = …………………..1179447158912356
3434343434 * 3434343434 =………….11794714822658912356
343434343434 * 343434343434 = 117947148249942658912356
=============================================

Равенство площадей можно показать ГРАФИЧЕСКИ (вообще без цифр)!

[tex]\infty[/tex] > [tex]8^{0 }[/tex]
Это тоже АКСИОМА, которая "не требует доказательств"...

ровно В СТО РАЗ!

100 = [tex]10^{2 }[/tex]
Кто не верит - пусть проверит "умножением в столбик"!
А ещё "есть мнение", что 100 = [tex]7^{2 }[/tex] х 2 + [tex]2^{1 }[/tex]

А вот вам интересные ОБРАТНЫЕ числа !

Уже НЕ интересно...
Одна десятая ЧАСТЬ - это число ОБРАТНОЕ одному целому ДЕСЯТКУ!
10/1 > 1/10 ровно В СТО РАЗ!

Топология планеты Земля в формате 3D

Вот именно!
Это же НЕ "квадратно-метрическая" (декартовая?) ТОПО-логия, а именно СФЕРИЧЕСКАЯ...
В таком случае надо дискутировать "про триангуляцию на СФЕРЕ", а объяснять здесь что такое закон ОБРАТНЫХ квадратов "арабскими ЦИФРАМИ" - не имеет смысла! Когда мы ДЕЛИМ целую Единицу на 10 равных частей, то это ДЕСЯТИЧНАЯ система счисления, в которой цифра "НОЛЬ" тоже имеет какое-то ЗНАЧЕНИЕ.

1 * 1 = 1
11 * 11 = 121
111 * 111 = 12321
1111 * 1111 = 1234321
11111 * 11111 = 123454321
111111 * 111111 = 12345654321
1111111 * 1111111 = 1234567654321

А вот вам интересные ОБРАТНЫЕ числа !
Для наглядности -- делаю РАЗБИВКУ результатов.
1 : 1 = 1

1 : 121 = 0,00 8264 4628 0991735 5371900 8264 4628
То есть цифры идут то в прямом, то в обратном порядке !

1 : 12321 = 0,0000 8 1 16 2 24 3 32 4 40 5486567648729810892
То есть то больше на 8, то больше на 1

1 : 1234321 = 0,000000 8 10 16 20 24 30 3240405048605670648072
То есть то больше на 8, то больше на 10 ...

1 : 123454321 = 0,00000000 8 100 16 200 24 300 32400405004860056
То есть то больше на 8, то больше на 100 ...

1 : 12345654321 = 0,0000000000 8 1000 16 2000 24 3000 32400040500048
То есть то больше на 8, то больше на 1000 ...

И если учесть, что в современных компьютерах используется 8-битное преобразование ...
То 8-мёрки в вышележащих расчётах тоже заслуживают внимания !

Полярная окружность Земли = 40 000 километров.
В окружности 360 градусов.
40 000 : 360 = 111,111
1 градус окружности Земли = 111,111 километров.
Или 111 111 метров.
Сам МЕТР в прошлом определялся как 1/10 000 000 расстояния от экватора до северного полюса через Париж. То есть как 1/40 000 000 окружности Земли.
В ОДНОМ КВАДРАТНОМ градусе поверхности Земли НА ЭКВАТОРЕ
111,111 километров * 111,111 километров = 12345,654321 квадратных километров.
Вам НЕ кажется забавным и ЧТО-ТО напоминающим ПОРЯДОК цифр в этом числе 12345,654321 ?!
Интересное такое "совпадение" !
КТО её СКОНСТРУИРОВАЛ, эту Землю ???
Топология планеты Земля в формате 3D , понимаешь ...

Почему Я и назвал этот треугольник СОВЕРШЕННЫМ.

Логичнее назвать такие построения "Треугольной матрицей Цимбалюка", чтобы сразу отличать их от "обычных" (прямоугольных) матриц, которые называются ТАБЛИЦАМИ. Если в треугольнике стороны соответствуют пропорции 3 : 4 : 5, то такой треугольник называют "египетским", при этом угол между меньшими сторонами всегда является ПРЯМЫМ углом, а его площадь = 6 х [tex]1^{2 }[/tex].
Египетский треугольник можно разделить на 16 одинаковых треугольничков, а если два таких единичных треугольничка соединить гипотенузами, то их ПЛОЩАДЬ (2D) будет равна 2 х 6/16 (кв. ед. изм)= 0,75 х [tex]1^{2 }[/tex].
При этом сумма таких треугольных единиц в каждом ряду соответствует НЕчётным числам 1...3...5...7...

И шо ви таки на это "думаете" ???

Нам думаетца, шо это тоже таки ТРЕУГОЛЬНИК!
Если его перевернуть вниз головой, то он всё равно будет ТРЕУГОЛЬНИКОМ!
А если перевёрнутый треугольник совместить с НЕперевёрнутым, то тогда получится "Звезда Давида"!

Если посчитать сумму цифр в каждом ряду ПЕРВОГО треугольника, то получаются именно КВАДРАТЫ.
1.4.9.16.25.36.
Сами эти цифры в каждом ряду ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО нарастают и уменьшаются.
А если посчитать сумму цифр в каждом столбе этого треугольника, то тоже получаются ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ числа, нарастающие сверху вниз.
И эти числа ИЗМЕНЯЮТСЯ (как бы "расползаются" в обе стороны) после прибавления к треугольнику каждого НОВОГО ряда !
Почему Я и назвал этот треугольник СОВЕРШЕННЫМ.

………………………………1.3..6.10.15.21.15.10.6.3.1.
1 * 1 = ………………… ...…………….. .1
11 * 11 = ………………………………. 1..2..1
111 * 111 =………………….…… 1..2..3..2..1
1111 * 1111 =………………. 1..2..3..4..3..2..1
11111 * 11111 =….. … 1..2..3..4..5..4..3..2..1
111111 * 111111 = 1..2..3..4..5..6..5..4..3..2..1

Но если кого-то волнует, то такая последовательность 1.3.6.10.15.21. и так далее -- ПРОСМАТРИВАЕТСЯ и в Треугольнике Паскаля !!!

…………...................1
………................. 1... 1
…….................1... 2... 1
…............... 1... 3... 3... 1
.............. 1... 4... 6... 4... 1
........... 1... 5.. 10. 10.. 5... 1
....... 1... 6... 15. 20. 15.. 6.... 1
... 1.... 7... 21. 35.. 35. 21.. 7... 1
1..... 8... 28..56. 70.. 56.. 28. 8... 1
----------------------------------------------
И шо ви таки на это "думаете" ???

Конечно же эту тему можно и НУЖНО развивать и дополнять!

Отрадно, что такими "задачками" занимаются не только Высшие Математики (академики?), но и "простые граждане"!
Теория чисел - это не догма!
ГРАФИЧЕСКОЕ отображение таких (геометрических?) построений позволяет НАГЛЯДНО показывать соотношения натуральных единиц измерения, которые используются в современном "хай-теке". При этом ПЕРВОСТЕПЕННОЕ значение имеет именно расстояние (1D), то есть какое-то ЛИНЕЙНОЕ ЧИСЛО (мера), которое записывается как СУММА [tex]1^{1 }[/tex] и отображается графически как ДЛИНА отрезка = расстоянию МЕЖДУ двумя точками на числовой оси.
Например, от точки 0 до 3 на числовой оси Х всегда точно такое же РАССТОЯНИЕ как и между точками 4 и 1.
3 - 0 = 4 - 1
НО!!!
[tex]3^{0 }[/tex] [tex]\ne[/tex] [tex]4^{1 }[/tex]

А вот и ЕЩЁ из моей старой публикации АТОМНЫЙ КОМПЬЮТЕР ТАБЛИЦЫ МЕНДЕЛЕЕВА.

..................Орбитальное квантовое число.
..................1s = 1²

Главное...…...2s + 2p = 2²

..................3s + 3p + 3d = 3²

квантовое.....4s + 4p + 4d + 4f = 4²

..................5s + 5p + 5d + 5f + 5g = 5²

число..........6s + 6p + 6d + 6f + 6g + 6h = 6²

Так странно пересекаются квантовая физика -- и простейшая арифметика !