И переложить в следующую коробку.

В условиях задачи сказано, что коробки стоят "по кругу"!
Следовательно, из 101 коробки МОЖНО переложить шарики в следующую коробку № 1...

После чего повторить процесс с очередной парой коробок.

Нет, потому что 101 нечётное число. Алгоритм действий этого Пети следующий. Он должен взять из одной коробки некоторое количество шариков, минимум по одному, но каждого цвета, т.е. не менее 2х шариков. И переложить в следующую коробку. После чего повторить процесс с очередной парой коробок. Так как по условию есть всего 50 пар коробок и ещё одна - 101я, то шарики из неё некуда будет перекладывать.

По кругу стоит 101 коробка. В каждой коробке ле­жат чёрные и белые шарики, а на коробке написано, сколько в ней чёрных шариков и сколько белых. Петя хочет переложить из каждой коробки по одному шарику в следующую по часовой стрелке короб­ку так, чтобы обе надписи на каждой из коробок стали неверными. Сможет ли он это сделать?