Гость » Чт янв 20, 2022 9:42 pm
Представим себе пространственную систему, состоящую из вертикального отрезка АВ прямой, перпендикулярной ему прямой "a", отходящей от его нижнего конца "А", и двух перпендикулярных ему прямых лучей "b" и "c",исходящих из точки "B". Для упрощения последующих построений допустим, что проекция прямой "a" совпадает с гипотенузой "e" угла "Ǫ", между лучами "b"и "c". Теперь пусть линии "a" и "b", а также "a" и "c" попарно являются направляющими для образующих - отрезков прямых "ki" и "li", порождающих линейчатые боковые поверхности (не плоскости!) "F" и"G", которые в сечениях плоскостями "Vi", перпендикулярных прямой
"a", дают углы с вершинами на прямой "a" , по своей величине непрерывно увеличивающиеся по мере удаления от отрезка "AB".
Теперь на отдельных рисунках построим два угла: один "Ǫ1"- заданный, и второй "Ǫ2"-вспомогательный, построенный произвольно, как тройной, т.е., состоящий из трёх одинаковых углов "ɤ" На основании углов "Ǫ1" и "Ǫ2" строим равнобедренные треугольники высотой h=AB с основаниями соответственно "MN" и"PR". На основании PR отмечаем точки "S" и "T", разделяющие основания треугольников "APS", "АST" и "ATR" с равными углами "ɤ " при вершинах.
Следующий шаг на пути к решению - построение горизонтальных проекций треугольников, изображённых на рис. 2а и 2б. При этом предположим, что треугольники эти совпадают с сечениями пространственной конструкции, изображённой на рис.1, некими плоскостями "V1" и "V2", т.е., единственно возможное положение определяется длиной оснований. Получаем (см. рис 3) два тех же основания"NM" и "PR" уже ещё и других горизонтально
расположенных треугольников с общей вершиной в точке, определяющей горизонтальную проекцию прямой "AB" ("ABI "). На отрезок "PR" переносим точки "T" и "S". Теперь из "ABI " ) проводим лучи через точки "S" и "T", пересекая ими прямую "NM", получая на ней точки "X" и "Y".
Заключительный этап получения окончательного результата - перенос точек "X" и "Y" на основание "MN" треугольника с заданным углом "Ǫ1" при вершине. Они и будут определять положение лучей, делящих заданный угол "Ǫ1" на три равные части аналогично точкам "S" и "T" в случае вспомогательного угла "Ǫ2" .
При решении этой задачи использован приём преобразований, которые можно было бы назвать МЕТОДОМ НЕПОЛНОГО ПОДОБИЯ. Суть его в следующем.
Как известно, геометрическое подобие состоит, практически, лишь в изменении масштаба изображения. При этом, изменяются (в одинаковой степени увеличиваются или уменьшаются) все без исключения размеры по обеим осям (X и Y) , кроме угловых. Но, в принципе возможно и преобразование с изменением размеров лишь по одной из этих осей. При этом, изменение масштаба происходит, всего лишь, по одной из двух осей, но оно «контролируемое» и обратимое (т.е., может быть возвращённым в исходное состояние. В таком случае может быть получено т.н. НЕПОЛНОЕ ПОДОБИЕ фигуры. Это легче уяснить, если представить себе такие пары, составленные по принципу «фигура – неполное подобие», как «квадрат – ромб», «прямоугольник – параллелепипед», «окружность – эллипс» и др. Вероятно, особое место в такой системе занимает пара «угол – угол». Преобразование такого типа и реализуется с использованием пространственной системы осей, приведённой на рис.1.
В заключение можно отметить следующее.
1 Подбором параметров конструкции из отрезка "AB" и лучей "a", "b", "c" и величины вспомогательного угла "ɤ " можно обеспечить оптимальные условия для графических построений при различных значениях заданного для трисекции угла.
2 Очевидно, что приведённый способ пригоден для получения точных графических решений при выполнении задач на деление заданного угла на, практически, любое количество равных частей или на разделение того же угла на определённое количество частей, находящихся в заданном их соотношении.
Представим себе пространственную систему, состоящую из вертикального отрезка АВ прямой, перпендикулярной ему прямой "a", отходящей от его нижнего конца "А", и двух перпендикулярных ему прямых лучей "b" и "c",исходящих из точки "B". Для упрощения последующих построений допустим, что проекция прямой "a" совпадает с гипотенузой "e" угла "Ǫ", между лучами "b"и "c". Теперь пусть линии "a" и "b", а также "a" и "c" попарно являются направляющими для образующих - отрезков прямых "ki" и "li", порождающих линейчатые боковые поверхности (не плоскости!) "F" и"G", которые в сечениях плоскостями "Vi", перпендикулярных прямой
"a", дают углы с вершинами на прямой "a" , по своей величине непрерывно увеличивающиеся по мере удаления от отрезка "AB".
Теперь на отдельных рисунках построим два угла: один "Ǫ1"- заданный, и второй "Ǫ2"-вспомогательный, построенный произвольно, как тройной, т.е., состоящий из трёх одинаковых углов "ɤ" На основании углов "Ǫ1" и "Ǫ2" строим равнобедренные треугольники высотой h=AB с основаниями соответственно "MN" и"PR". На основании PR отмечаем точки "S" и "T", разделяющие основания треугольников "APS", "АST" и "ATR" с равными углами "ɤ " при вершинах.
Следующий шаг на пути к решению - построение горизонтальных проекций треугольников, изображённых на рис. 2а и 2б. При этом предположим, что треугольники эти совпадают с сечениями пространственной конструкции, изображённой на рис.1, некими плоскостями "V1" и "V2", т.е., единственно возможное положение определяется длиной оснований. Получаем (см. рис 3) два тех же основания"NM" и "PR" уже ещё и других горизонтально
расположенных треугольников с общей вершиной в точке, определяющей горизонтальную проекцию прямой "AB" ("ABI "). На отрезок "PR" переносим точки "T" и "S". Теперь из "ABI " ) проводим лучи через точки "S" и "T", пересекая ими прямую "NM", получая на ней точки "X" и "Y".
Заключительный этап получения окончательного результата - перенос точек "X" и "Y" на основание "MN" треугольника с заданным углом "Ǫ1" при вершине. Они и будут определять положение лучей, делящих заданный угол "Ǫ1" на три равные части аналогично точкам "S" и "T" в случае вспомогательного угла "Ǫ2" .
При решении этой задачи использован приём преобразований, которые можно было бы назвать МЕТОДОМ НЕПОЛНОГО ПОДОБИЯ. Суть его в следующем.
Как известно, геометрическое подобие состоит, практически, лишь в изменении масштаба изображения. При этом, изменяются (в одинаковой степени увеличиваются или уменьшаются) все без исключения размеры по обеим осям (X и Y) , кроме угловых. Но, в принципе возможно и преобразование с изменением размеров лишь по одной из этих осей. При этом, изменение масштаба происходит, всего лишь, по одной из двух осей, но оно «контролируемое» и обратимое (т.е., может быть возвращённым в исходное состояние. В таком случае может быть получено т.н. НЕПОЛНОЕ ПОДОБИЕ фигуры. Это легче уяснить, если представить себе такие пары, составленные по принципу «фигура – неполное подобие», как «квадрат – ромб», «прямоугольник – параллелепипед», «окружность – эллипс» и др. Вероятно, особое место в такой системе занимает пара «угол – угол». Преобразование такого типа и реализуется с использованием пространственной системы осей, приведённой на рис.1.
В заключение можно отметить следующее.
1 Подбором параметров конструкции из отрезка "AB" и лучей "a", "b", "c" и величины вспомогательного угла "ɤ " можно обеспечить оптимальные условия для графических построений при различных значениях заданного для трисекции угла.
2 Очевидно, что приведённый способ пригоден для получения точных графических решений при выполнении задач на деление заданного угла на, практически, любое количество равных частей или на разделение того же угла на определённое количество частей, находящихся в заданном их соотношении.
Меню