Я написала тоже самое ,но в самом коротком виде.

Я буду использовать формулу: sin[tex]\alpha[/tex]+sin[tex]\beta[/tex]=2sin[tex]\frac{\alpha+\beta}{2}[/tex].cos[tex]\frac{\alpha-\beta}{2}[/tex]
__________________________________________________________________________________________________________________________________

sinx+sin2x+sin3x=

=(sin3x+sinx)+sin2x=

=2sin[tex]\frac{3x+x}{2}[/tex].cos[tex]\frac{3x-x}{2}[/tex]+sin2x=

=2sin2x.cosx+sin2x=

=2cosx.sin2x+2cosx.sinx=

=2cosx(sin2x+sinx)=

=2cosx.2sin[tex]\frac{2x+x}{2}[/tex].cos[tex]\frac{2x-x}{2}[/tex]=

=4cosx.sin[tex]\frac{3x}{2}[/tex].cos[tex]\frac{x}{2}[/tex]=

=4cosx.cos[tex]\frac{x}{2}[/tex].sin[tex]\frac{3x}{2}[/tex]

A=sinx+sin2x+sin3x=[tex]sinx + sin3x + sin2x=2sin2xcosx + 2sinxcosx=2cosx(sin2x + sinx )[/tex]
A = [tex]4cosxsin\frac{3x}{2}cos\frac{x}{2}[/tex].

sinx + sin2x + sin3x
P.S должно получится 4cosx*cos(x/2)*sin(3x/2)