Andy писал(а):Рассматриваемая последовательность ограничена сверху числом [tex]\sin{1};[/tex] она монотонно убывает, оставаясь при этом положительной, и ограничена снизу числом [tex]0.[/tex] Значит, у неё должен существовать предел, расположенный на отрезке [tex][0,~\sin{1}].[/tex]

Понятно, что рассматриваемая последовательность задаётся формулами [tex]a_1=\sin{1},~a_{n+1}=\sin{a_n}.[/tex] При переходе к пределу если [tex]a_n \to 0,[/tex] то и [tex]a_{n+1} \to 0.[/tex] Значит, в силу единственности предела искомый предел равен нулю.

Указанные мной выше рассуждения. возможно, нуждаются в уточнениях, но, думаю, идейно верны. Их я имел в виду, взявшись ответить Вам.

Andy писал(а):Может быть, нужно попробовать сначала доказать монотонность и ограниченность этой последовательности, задав её рекуррентно? Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.