Трудна задача по геометрия

Pinetop Smith

Вписаната в неравнобедрен тр. АВС окръжност се допира до страните ВС, СА и АВ съответно в точките M, N и Р. Да се докаже, че:

а) медицентърът на триъгълника MNP, центърът на описаната около АВС окръжност и центърът I на вписаната в АВС окръжност лежат на една права g;

б) центровете на окръжностите, описани около триъгълниците CIP, BIN и AIM, лежат на една права, перпендикулярна на правата g.

сп. "Математика", осми брой, 1983

Реклама

zhivko_sh · Пуснато на: Sat May 02, 2009 2:19 pm Заглавие:

комплексни числа Wink

. Аз изкарах а) лесно, а б) също ще е лесно да се док, че са на една права, а за това че са перпендикулярни само ще кажа, че рано или късно и това ще се получи. По мое мнение най-добре е да изберете вписаната в ABC за единичната окръжност и всичко после всички точки дето ни тряят лесно се намират (центровете на описаните и медицентъра)

gre4ka · Пуснато на: Sat May 02, 2009 11:59 pm Заглавие:

Живку, прати това решение на Белухов като го довършиш.

Между другото ако приложиш инверсия спрямо вписаната окръжност за АБЦ задачата заспива.

zhivko_sh · Пуснато на: Sun May 03, 2009 11:35 am Заглавие:

Да, Белухов ще остане очарован Very Happy

. Ама чакам някоя задача с равномерно движение ... и тогава. А решението с инверсия наистина е добро Wink

.

pmgvr · Пуснато на: Sun May 03, 2009 11:39 am Заглавие:

Извинявайте за въпроса, защото виждам, че сте се събрали все умни хора, но какво ще рече инверсия? Embarassed

ганка симеонова · Пуснато на: Sun May 03, 2009 11:46 am Заглавие:

pmgvr · Пуснато на: Sun May 03, 2009 11:49 am Заглавие:

Много Ви благодаря!

ганка симеонова · Пуснато на: Sun May 03, 2009 11:50 am Заглавие:

Ето и една красота, за да видиш че инверсията е красива Very Happy

zhivko_sh · Пуснато на: Sun May 03, 2009 11:52 am Заглавие:

Накратко: инверсия относто окръжност с център О и радиус r изпраща всяка точка P, различна от О в точка P', така че P' е от лъча ОP и е изпълнено, че OP.OP'=r^2. И съответно си има някои хубави свойства: права през О отива в себе си; права, неминаваща през О отива в окръжност през О и обратно; окръжност, неминаваща през О отива в окръжност, неминаваща през О (ама не задължително в същата). Има и други неща де, ама ме мързи сега да пиша (пък и инверсията не ми е най-силната страна). В нета трябва да има нещо по-подробно, ако искаш потърси.

ins- · Пуснато на: Sun May 03, 2009 10:12 pm Заглавие:

Един приятел спомена, че е успял да реши с комплексни числа "Задача 23" от раздел: "Задача на седмицата". Аз не разбирам нищо от комплексни числа, но ще ми е интересно да видя подобно решение - имам материал за комплексни числа и вероятно ще успея да го разбера.

inimitably · Пуснато на: Wed May 13, 2009 10:13 am Заглавие:

Нека [tex]H'[/tex] е ортоцентърът на триъгълника [tex]MNP[/tex].Нека [tex]MH'[/tex] , [tex]PH'[/tex] и [tex]NH'[/tex] пресичат вписаната в триъгълника [tex]ABC[/tex] окръжност съответно в точките [tex]M_{1}[/tex] , [tex]P_{1}[/tex] и [tex]N_{1}[/tex].Лесно се доказва , че [tex]P_{1}M_{1}[/tex] , [tex]N_{1}P_{1}[/tex] и [tex]M_{1}N_{1}[/tex] са успоредни съответно на [tex]CA[/tex] , [tex]BC[/tex] и [tex]AB[/tex] , т.е. триъгълниците [tex]ABC[/tex] и [tex]M_{1}N_{1}P_{1}[/tex] са хомотетични.С помощта на вписани ъгли се установява , че [tex]H'[/tex] е център на вписаната окръжност в триъгълник [tex]M_{1}N_{1}P_{1}[/tex] следователно точките [tex]O[/tex] , [tex]I[/tex] и [tex]H'[/tex] лежат на една права.С други думи [tex]OI[/tex] е правата на Ойлер за триъгълника [tex]MNP[/tex].