Задачка с равностранен триъгълник

[geriniki]

Даден е равностранен триъгълник АВС. В него е взета вътрешна точка М,разстоянията от която до страните на триъгълника се отнасят както 3:2:1. Лицето на АВС е 27√3, Да се намери лицето на триъгълник,чиито върхове са петите на перпендикулярите през точката към страните на АВС?

[Реклама]

[inimitably]

Опитай да изразиш лицето на ▲ABC като сбор на лицата на следните ▲-ци AMB , BMC , ANC.Да означим разстоянията от т.М до страните на триъгълника с h1,h2,h3 тогава S▲AMB=(a.h1)/2 ;S▲AMC=(a.h2)/2 ;S▲BMC=(a.h3)/2 , но S▲ABC=(ah)/2 оттук следва ,че
h1+h2+h3=h(h-височината на триъгълника).Тъй като ти е дадено лицето на ▲АBC лесно можеш да намериш страната а ...S▲ABC=(√3a^2)/4.Сега h1:h2:h3=3:2:1 означаваме h1=3x ; h2=2x ; h3=x , тогава S▲ABC=(a.h)/2=(a(h1+h2+h3))/2=(a.6x)/2.След като заместиш намираш x , после h1,h2,h3. Да означим с МP=h2[tex]\bot[/tex]AC , MQ=h3 [tex]\bot[/tex]BC , MF=h1[tex]\bot[/tex]AB околко четириъгълниците AFMP ,BFMQ, MPCQ
може да се опише окръжност следователно [tex]\angle[/tex]FMP=FMQ=PMQ=120 [/tex]^\circ[/tex].
Пресмяташ лицата на ▲FMQ ,PMQ ,QMF (и за трите знаеш по 2 страни и ъгъл между тях) събираш ги и готово!
Надявам се да си разбрал/а задачата.Някой ако може да направи чертеж ще е добре

[geriniki]

ами.. аз я решавам по друг начин.. от лицето намирам страната-с формулата за равностранен триъгълник.. после оттук като имам страната и лицето намирам височината и тя ми излиза 9..знам че тези сбора разстояния към катети са равни на височината..и оттук 6х=9... .. х= [tex]\frac{3}{ 2} [/tex] и оттук едното разстояние - 3. x= [tex]\frac{9}{ 2} [/tex].. другото разстояние е 3 и другото е x=[tex]\frac{3}{ 2} [/tex] .. после за да намеря страните на триъгълника,чието лице се търси използвам косинусова теорема..като ъглите около произволно избраната точка в триъгълника са по 120.. обаче нещо не ми излиза.. къде бъркам?

[inimitably]

[Тодоров]

[img][/img]