Теория на числата

[Caesar]

Здравейте,
Предлагам тук всеки да поства теорема или формула, която смятате за полезна и важна.
Надявам се всеки ще се включи. Не е задължително да има доказателство

[Реклама]

[Пафнутий]

Предполагам, че искаш да се публикуват по-малко известни теореми
Нека [tex]t=p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{s_{2}}....p_{n}^{s_{n}}[/tex] и нека с [tex]d(n)[/tex] бележим броя на делителите на числото [tex]n[/tex].Тогава е вярно равенството:
[tex]d(t)=(s_{1}+1)(s_{2}+1)...(s_{n}+1)[/tex]

[Caesar]

И не само по-неизвестните. Най-важните и най-интересните също

[Пафнутий]

За просто просто [tex]p[/tex] и цяло [tex]a[/tex] e вярно [tex]a^p\equiv a(mod p) [/tex] (малката теорема на Ферма)
За цели [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], за които [tex](a,b)=1[/tex] e вярно [tex]a^{\varphi (b)}\equiv 1(mod b)[/tex] и [tex]b^{\varphi (a)}\equiv (mod a)[/tex] , където [tex]\varphi (n)[/tex] e функцията на Ойлер, означаваща броя на по-малките взаимно прости с [tex]n[/tex] числа.[tex]\varphi (n)[/tex] се намира по ф-лата [tex]\varphi (t)=\prod_{i=1}^n t.(1-\frac{1}{p_{i}})[/tex], където [tex]t=\prod_{i=1}^n p_{i}^{s_{i}}[/tex](теорема на Ойлер)
Показател на числото [tex]a[/tex] по модул [tex]b[/tex] е най-малкото естествено число [tex]k[/tex],за което е изпълнено [tex]a^k\equiv 1(mod b)[/tex].Бележим [tex]k\in a[/tex] [tex]mod b[/tex]
Теоремата за показател. Ако [tex]k\in a[/tex] [tex]mod b[/tex] и е изпълнено [tex]a^n\equiv 1(modb)[/tex], то [tex]k|n[/tex].
ПП За функцията на Ойлер е вярно, че за всеки 2 взамно прости [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] ,[tex]\varphi(a.b)=\varphi (a).\varphi (b) [/tex]. Тоест [tex]\varphi (n)[/tex] е мултипликативна.

[Пафнутий]

Мога да дам и доказателства, ако се интересувате

[blqaa]

Ако p е просто число, което се представя във вида 4k+3 за някое естествено k и [tex]p\-a^{2}+b^{2}[/tex], то [tex]p\-a[/tex] и [tex]p\-b[/tex].
Ако N е просто число, което се предствя във вида 4k+3 за някое естествено k, то N има прост делител от вида 4g+3.
Всяко число може да се представи като сбор на не повече от четири квадрата на естествени числа, като тези които се представят като сбор на точно четири квадрат с числата от вида 8k+7 за някое естествено k.
Едно число p е просто тогава и само тогава, когато [tex]\left(p-1\right)!\equiv-1 \left(mod p\right)[/tex].

[Пафнутий]

Нека въведем [tex]a\mathbb{Z}:=[/tex]{[tex]az:z\in \mathbb{Z}[/tex]} или казано по-просто [tex]a\mathbb{Z}[/tex] е множеството на числата кратни на [tex]a[/tex]. Например [tex]5\mathbb{Z}= [/tex]{[tex]...-10,-5,0, 5,10...[/tex]}.Всъщност можем да въведем и [tex]a_{1}\mathbb{Z}+a_{2}\mathbb{Z}+...+a_{k}\mathbb{Z}:=[/tex]{[tex]a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+...+a_{k}z_{k}:z_{1},z_{2},...z_{k}\in \mathbb{Z}[/tex]}. Вярно е следното твърдение [tex]a_{1}\mathbb{Z}+a_{2}\mathbb{Z}+...+a_{k}\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}[/tex] , където [tex]d=gcd(a_{1},a_{2},...,a_{k})[/tex]. При [tex]d=1[/tex] имаме [tex]S=a_{1}\mathbb{Z}+a_{2}\mathbb{Z}+...+a_{k}\mathbb{Z}=\mathbb{Z}[/tex], т.е [tex]S\equiv \mathbb{Z}[/tex].
За просто [tex]p[/tex] ще дефинираме функцията [tex]v_{p}[/tex] по следния начин: ако [tex]n=p^s.k[/tex] , където [tex]gcd(p,k)=1[/tex] , то [tex]v_{p}(n)=s[/tex]. Очевидно за всеки две [tex]a,b\in\mathbb{Z}[/tex] имаме:
1) [tex]v_{p}(a.b)=v_{p}(a)+v_{p}(b)[/tex]
2) [tex]a|b[/tex] , ако [tex]v_{p}(a)\le v_{p}(b)[/tex] за всяко [tex]p[/tex].
3) [tex]v_{p}(gcd(a,b))=min(v_{p}(a),v_{p}(b))[/tex]
4)[tex]v_{p}(lcm(a,b))=max(v_{p}(a),v_{p}(b))[/tex]
Разбира се, тези свойства са в сила и за [tex]n[/tex] на брой цели числа.
[tex]lcm(a,b)=[/tex]НОК [tex](a,b)[/tex]
[tex]gcd(a,b)=[/tex]НОД [tex](a,b)[/tex]
По-малко известно твърдение е [tex]v_{p}(n!)=\sum_{i=1}^{\infty}[\frac{n}{p^{i}}][/tex], където с [tex][x][/tex] бележим цялата част на [tex]x[/tex].
ПП Хубаво е да погледнете тук- Миро се е постарал и е направил много добра лекция като е доказал част от поместените тук твърдения.

[Пафнутий]

Ето и едно много често използвано тъждество. То е следното:
[tex]xy+xk+yj+jk=(x+j)(y+k)[/tex]
За повече инфо- http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Simon's_Favorite_Factoring_Trick

[broniran_potnik]

Много известно твърдение е:
[tex]\sum_{i=0}^{\infty}\lfloor\frac{n+2^{i}}{2^{i+1}}\rfloor=n [/tex] за естествено [tex]n[/tex].
Давано е като 6 задача на IMO 1968 и не се използва нищо освен [tex]\lfloor n+\frac{1}{2} \rfloor=\lfloor 2n \rfloor - \lfloor n \rfloor[/tex]. Там сумата е [tex]\sum_{i=o}^{n-1}\lfloor \frac{n+2^{i}}{2^{i+1}} \rfloor[/tex] , но [tex]2^n>n[/tex] и оттам двете са еквивалентни

[broniran_potnik]

Ако простото число [tex]p[/tex] е от вида [tex]6k+5[/tex],то [tex]\{x^3|x=1,2,....,p-1\}[/tex] е пълна система остатъци по модул [tex] p[/tex].
ПП Айде де, нека и някой друг да пише тука...

[iboB]

Не съществува естествено число n, по-голямо от 2, за което да има тройка естествени числа (a,b,c), изпълняващи
aⁿ + bⁿ = cⁿ

[stflyfisher]

[estoyanovvd]

Ето ви една "теорема", която не трябва да използвате в никакъв случай!!!
Ако [tex]a.b=c.d[/tex], където НОД(a;b)=1 и НОД(c;d)=1, то a=c или a=d!!!

През далечната 1976 год., когато бях ученик в 11 клас, на състезанието в Ямбол излязох след два часа и вече предчувствах победата, но се оказа, че съм използвал точно тази теорема!!! В интерес на истината тогава бях най-добър именно по теория на числата!!!

[Пафнутий]

ХХахахха, горната теорема колко пъти я бях ползвал преди да се усета, че не е вярна

[iboB]

[emiliq.dimitrova21]

помощ!!!! много моля някой ако може да докаже теоремата на Уилсън,т.е.
(р-1)!+1 да е сравнимо с 0 по модул р,тогава и само тогава когато р е просто число.
Много ще сам ви благодарна!!!!!!!

[nikko1]

Ето ти доказателство. Извинявам се, че е на файл, обаче Теоремата на Уилсън зависи от някои други теореми така че да го преписвам и да стане огромен пост мисля, че няма смисъл.

[emiliq.dimitrova21]

ако някой може да докаже че (a,b)(b,c)(c,a)[a,b][b,c][c,a]=a²b²c²

ако някой си има на идея как става моля ви се напишете го

[krainik]

[tex](a,b)[a,b]=ab[/tex]... Нататък си ти

[emiliq.dimitrova21]

хахахаха то ако беше лесно и знаех как нямяше да търся помощ но все пак ти благодаря

[krainik]

ОМГ... Изобщо пък не е лесно ... С това упътване и човек, за първи път виждащ [...] и (...), ще се оправи... Ето ти и друг хинт [tex](abc)^2=(ab)(bc)(ca)[/tex].

[emiliq.dimitrova21]

абе да ви кажа оправих се и не че не съм виждала () и [] просто немога да доказвам теореми и т.н. всичко др мога да решавам но това винаги ме е затруднявало

[krainik]

Ето и една наистина мощна лема:
Ako [tex]p^{\alpha}||a-b[/tex] и [tex]p^{\beta}||n[/tex], то [tex]p^{\alpha+\beta}||a^n-b^n [/tex], за просто [tex]p[/tex]( известна е на английски като lifting the exponent lemma)