Две задачи от ар. прогресии за доказване

[Lyn]

Много ще ми е интересно да разбера как се решават следните две задачи, които вчера изкопах от един стар сборник. Ако някой знае как става, моля да сподели.

Задача 1

За аритметична прогресия е в сила равенството:
S_m / S_n = m ² / n ²

Да се докаже:
a_m / a_n =[tex]\frac{2m-1}{2n-1 } [/tex]


Задача 2

За аритметична прогресия са в сила равенствата:
S_n = n²p
S_k = k²p

Да се докаже:
S_p = p³

[Реклама]

[martosss]

Ето сайта, от който ще взема формулите:
http://www.math10.com/bg/algebra/arithmetic-progression.html

[tex]a_n = a_1 + (n - 1)d[/tex]
[tex]S = \frac{1}{2}(2a_1 + d(n-1))n[/tex]

Сега си разписваш равенството, което ти е дадено:

[tex]\frac{S_m}{S_n}=\frac{\cancel {\frac{1}{2}}(2a_1+d(m-1))\cancel m}{\cancel {\frac{1}{2}}(2a_1+d(n-1))\cancel n}=\frac{m\cancel {^2}}{n\cancel {^2}}[/tex]

От тук като приведеш в нормален вид стигаш до [tex](m-n)(2a_1-d)=0[/tex]

1.m=n и очевидно у-ето е изпълнено.

2. [tex]d=2a_1[/tex] сега разписваш това, което се търси:

[tex]\frac{a_m}{a_n}=\frac{a_1+(m-1)d}{a_1+(n-1)d}[/tex], сега замества [tex]d[/tex] със [tex]2a_1[/tex] и се получава

2) би трябвало да действаш по подобен начин

[Lyn]

Мерси
Значи от S_n=n²p
след като се съкратят във формулата нещата става:

2a₁+nd-d=2np
2a₁-d=2np-nd

Аналгично 2a₁-d=2kp-kd

[tex]\frac{2np-nd}{2kp-kd }[/tex]=[tex]\frac{2a1-d}{2a1-d }[/tex]

2np-nd=2kp-kd
2np-2kp+kd-nd=0
2p(n-k)-d(n-k)=0
(n-k)(2p-d)=0

d=2p , което го заместваме в следващото и се получава. Урааа!