Контролни за Младежката Балканиада по Математика 2008

[Saposto_MM]

Първи ден, 18 май 2008
Задача 1. Да се докаже, че ако a, b и c положителни числа със сума 1, то
[tex]\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ac}{b+ac}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{3}{2}[/tex]
Задача 2. Около триъгълника ABC е описана окръжност с център O и диаметърът й AA₁ е успореден на BC. Нека H е пресечната точка на височините на триъгълника ABC . Докажете, че правата BC разполовява отсечката OH.
Задача 3. Възможно ли е множество от 10 последователни естествени да бъде разделено на две подмножества така, че произведенията на числата в двете подмножества да са равни?
Задача 4. Десет рицари са седнали около кръгла маса. Един от тях (сър Джон) има една монета, а останалите нямат монети. Нека n е дадено едноцифрено число. На всеки ход се избират n поредни рицари и им се дава една монета, или пък се избират n поредни рицари, всеки от които има монети, и им се взима по една монета. При кои стойности на n е възможно след краен брой ходове да остане само една монета и тя да е у някой съсед на сър Джон?

Втори ден, 19 май 2008
Задача 5. За положителните числа a, b и c е известно, че ab²+c³<bc²+a³<ca²+b³
а)Кои две от числата могат да бъдат равни?
б)Ако дадените числа са различни, то кое от тях не може да е най-малкото?
Задача 6. Ъглополовящите BK и CP на триъгълника ABC пресичат описаната около триъгълника окръжност съответно в точки B₁ и C₁. Ако CC₁=AB, BB₁=AC и [tex]\angle ACB[/tex] е тъп, да се докаже, че третата ъглополовяща AM е равна на KC₁.
Задача 7. Да се реши в цели числа уравнението x⁴+2x³+2=y²
Задача 8. В една фирма работят 2008 души. Всеки от тях подарил мартеница на двама свои колеги. От фирмата трябва да се изберат n души, сред който никой не е подарил мартеница на никой от останалите n-1. Да се намери най-голямото n, за което е сигурно, че това може да се направи.

[Реклама]

[davkata_bs]

ако ви мързи да решавате ето и решения :