УРАВНЕНИЯ

[v1rusman]

Как се решават урвнения от вида:
х^4-13.х^2+36=0
х^5+19.х^3-9.х^2+1=0
Възможно ли е с материал,който се изучава в 8.клас(квадратни уравнения)

[Реклама]

[Pinetop Smith]

1 зад.

Полагаме [tex]x^2 = t[/tex].

[tex]t^2 - 13t + 36 = 0[/tex]

Намираш корени [tex]t_1 = 4, t_2 = 9[/tex] и после заместваш с [tex]x^2[/tex].

Тези уравнения се наричат биквадратни и най-често се решават именно с такова полагане.

А за второто - неразложимо е... Сега го пробвах и с една програма - има само едно реално решение, другите са комплексни Тоест не може да е за 8-ми клас.

[Spider Iovkov]

За уравненията до четвърта степен може да се използват полагания. В твоя случай за първия пример ще напишеш:
(x²)²–13x²+36=0; x²=t; така решаваш елементарното уравнение t²–13t+36=0, а после заместваш конкретната стойност на t в израза за полагането. След коренуване остава ׀х׀ . Оттам вече е лесно.
За уравнения, при които неизвестното е на нечетна степен, опитваш разлагане или схемата на Хорнер. Но след като условието ти е с материал до 8 клас, продължи с полагането и разлагането на множители.

(x²)²–13x²+36=0; x²=t;

[Pinetop Smith]

Значи, полагането върви само за биквадратни уравнения.
[tex]x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 27x - 18[/tex]

Тук не може. Можеш да приложиш схема на Хорнер, ако корените са цели, или формулата на Ферари, ако са реални. Иначе - разлагане... Например в ей това уравнение нито едно от първите две не върви:

[tex]3x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x - 1 = 0 [/tex]

Защото един oт корените е[tex] \frac{-1}{3} [/tex], а други два - [tex]i, -i[/tex]...

[Grands]

[Pinetop Smith]

http://www.math10.com/bg/visha-matematika/cubic-quatric-equations/uravnenia-3-4-stepen.html

Не е известна като "Формулата на Ферари", както я нарекох, обаче неин откривател е Луиджи Ферари, ученик на Кардано(а всички знаем коя формула е открил Кардано). Забележи, че действа само за реални корени.

[Infernum]

[Pinetop Smith]

Четвъртият е 1. Не съм писал "другиТЕ два", а "другИ два".

[r2d2]

Търсим разлагане на [tex]3x^4-2x^3+2x^2-2x-1=(3x^2+ax+b)(x^2+cx+d)[/tex], като а,b,c,d са цели.
От bd=1 имаме само две възможности:

1. b=1; d=-1

Сравняваме коефициентите пред степените на х:
-2=3c+a (3-тите степени)
2=b+ac+3d=1+ас-3=ас-2 (2-тите степени)
-2=bc+ad=c-a (1-тите степени)
Tази система няма решение.

2. b=-1; d=1
Намираме (по същия начин) с=0 и а=-2.
Тогава:
[tex]3x^4-2x^3+2x^2-2x-1=(3x^2-2x-1)(x^2+1)=(x-1)(3x+1)(x^2+1)[/tex].

Toзи метод е универсален, но е особено ефикасен когато старшият коефициент и свободният член на полинома, който разлагаме са прости числа.