Уравнения на степен 3 и 4

Кубично уравнение x³ + a₁x² + a₂x + a₃ = 0

Нека Q = (3a₂ - a₁²)/9,     R = (9a₁a₂ - 27a₃ - 2a₁³)/54,     S = ,     T =

Решения:

Ако a₁, a₂, a₃ са реални и ако D = Q³ + R² е дискриминанта, тогава
(i)     1 реален корен и 2 комплексно спрегнати ако D > 0
(ii)     всички корени са реални и поне 2 от тях са рарни D = 0
(iii)     всички корени са реални и различни ако D < 0.
Ако D < 0, изчисленията се улесняват използвайки тригонометрията.

Решения, ако D < 0 :

където cosθ = -R / √ -Q³

            x₁ + x₂ + x₃ = -a₁,      x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = a₂,      x₁x₂x₃ = - a₃
където x₁, x₂ , x₃ са 3 реални корена.

Уравнение на степен 4 x⁴ + a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄ = 0.

Нека y₁ е реален корен на кубичното уравнение
(1)    y³ - a₂y² + (a₁a₃ - 4a₄)y + (4a₂a₄ - a₃² - a₁²a₄) = 0.

Решения:    Корените на: z² + 1/2{a₁ ± √a₁² - 4a₂ + 4y₁}z + 1/2{y₁ ± √y₁² - 4a₄} = 0.

Ако всички корени на (1) са реални, смятането се опростява чрез използване точно този корен, който прави всички релани коефициенти на квадратното уравнение.

където x₁,x₂,x₃,x₄ са четирите реални корена.

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: