Реални корени

[ганка симеонова]

Да се намерят всички стойности на параметъра а, за които корените на уравнението

[tex]x^6+3x^5+(6-a)x^4+(7-2a)x^3+(6-a)x^2+3x+1=0 [/tex] са реални.

[Реклама]

[nikko1]

Подсказка: Реципрочно уравнение

[martosss]

И като е реципрочно успя ли поне да стигнеш до някакъв отговор?

П.П. и все пак, г-жо, ако е 7-а по средата става по-лесно

[ганка симеонова]

Марто, няколко пъти днес ми го каза, но уви, така е, както съм го написала.

[martosss]

"корените на у-ето са реални", с това всички корени на у-ето ли се има предвид?

[Spider Iovkov]

Един жокер: сведете уравнението до кубично. Мартине, аз разбирам, че всичките шест корена са реални, и въз основа на това действам.

[martosss]

ми аз го свеждам до кубично, ама после какво? Кардано ли?
Става k³-ak-a=0, където k=x+1+1/x
имаме поне a≥0, но оттам нататък....
Може и да изразим а чрез х:
[tex]a=\frac{(x^2+x+1)^3}{x^2(x+1)^2}=\frac{((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})}{x^2(x+1)^2}>0[/tex]

[Spider Iovkov]

Ганка да почака и да не пуска нищо в случай че насън ù е дошла глобалната идея за задачата, . Нека да се помъчим още малко, , методът вече е ясен, .

[_sssss]

[tex]\normal k\in(-\infty; -1] \cup [3; + \infty)[/tex]
[tex]\normal f(-1)<0[/tex], искаме [tex]\normal f(3)\le 0 \Leftrightarrow a\ge \frac{27}{4}[/tex] За да уравнението, спрямо k, няма корени в този интервал.

от [tex]\normal f'(k)[/tex] имаме екстремуми при [tex]\normal k_1, k_2 \Leftrightarrow -1,5\le-\sqrt{\frac{a}{3}}<1,5\le \sqrt{\frac{a}{3}}[/tex]

И сега най-хамалската смятам [tex]\normal f(k_1)f(k_2)<0 \Leftrightarrow a\ge \frac{27}{4}[/tex]

Между -1 и 3 имаме един екстремум, но той е минимум и сме го докари отрицателен, няма как. Значи спираме дотук!

отг. [tex]\normal a\ge \frac{27}{4}[/tex]

[nikko1]

[Spider Iovkov]

[tex]x^6+3x^5+(6-a)x^4+(7-2a)x^3+(6-a)x^2+3x+1=0[/tex]

Очевидно [tex]x_{0}=0[/tex] не е решение на това уравнение. Тогава разделяме на числото [tex]x^3[/tex] и достигаме след групиране до уравнението

[tex]x^3+\frac{1}{x^3}+3x^2+\frac{3}{x^2}+(6-a)x+\frac{6-a}{x}+7-2a=0 \Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}+3(x^2+\frac{1}{x^2})+(6-a)(x+\frac{1}{x})+7-2a=0 \, (*)[/tex].

Полагаме [tex]x+\frac{1}{x}=u[/tex]. Веднъж повдигайки на втора степен, а после – на трета, намираме, че

[tex]x^2+\frac{1}{x^2}=u^2-2[/tex] и [tex]x^3+\frac{1}{x^3}=u^3-3u[/tex].

Заместваме в уравнението [tex](*)[/tex] и [tex]\Rightarrow u^3+3u^2+(3-a)u+1-2a=0 \, (**)[/tex]. Сега малко преобразуваме:

[tex]u^3+3u^2+3u-au+1-2a=0 \Leftrightarrow 2a+au=u^3+3u^2+3u+1 \Leftrightarrow a(u+2)=(u+1)^3[/tex].

Въвеждаме [tex]u+1=v \Rightarrow a(v+1)=v^3 \Leftrightarrow v^3-av-a=0[/tex]. Сега, за да има уравнението [tex](*)[/tex] шест реални корена (не непременно различни), то трябва уравнението [tex](**)[/tex] да има също реални корени, такива, че [tex]u\ge 2[/tex] или [tex]u\le -2[/tex]. Оттук [tex]v\ge 3[/tex] или [tex]v\le -1[/tex].
Нека [tex]f(v)=v^3-av-a[/tex]. Тогава [tex]f'(v)=3v^2-a[/tex]. Решаваме [tex]f'(v)=0[/tex] и определяме [tex]v= \pm \sqrt{\frac{a}{3}}[/tex]. Получават се интервалите [tex](-\infty; -\sqrt{\frac{a}{3}}), \, (-\sqrt{\frac{a}{3}}; \sqrt{\frac{a}{3}}), \, (\sqrt{\frac{a}{3}};+\infty)[/tex]. За да има уравнението [tex]f(v)=0[/tex] три реални корена във всеки един от тези интервали, то е нужно функцията да приема стойности с различни знаци във всеки един от краищата на интервалите [tex]\Rightarrow a>\frac{27}{4}[/tex].
Съобразяваме, че [tex]a>0[/tex] (при [tex]a=0[/tex] корените не са реални), откъдето, отчитайки и интервалите, в които се изменя [tex]v[/tex], намираме окончателно [tex]a\ge \frac{27}{4}[/tex].

Много време ми отне да го опиша, , още от вчера, но го довърших, . Сега да се захващаме с другата Ганкина задача, .

[ганка симеонова]