Определен интеграл

[ferry2]

Здравейте, срещнах трудност при решаването на този определен интеграл:

[tex]\int ^2_1 \frac{x-2}{(x^2-x+1)^2}.dx[/tex] Аз започнах със субституция на Хорнер, пол.:[tex]x=t+\frac{1}{2}\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}-x;dx=dt[/tex]

[tex]\int ^{-\frac{3}{2}}_{-\frac{1}{2}} \frac{t-\frac{3}{2}}{(t^2+\frac{3}{4})^2}.dt[/tex] Пробвах да представя подинтегралната функция като сбор от елементарни дроби, но не се получи! Бъркам ли някъде?

[Реклама]

[Mandos]

Пробвай знаменателя да го представиш в следната форма:[tex]\frac{1}{[(x-c)^2+a^2]^2}[/tex] От там нататък би трябвало да е по-лесно разделяйки дробта на две: [tex]\frac{x}{[(x-c)^2+a^2]^2} \; \text & \frac{-c}{[(x-c)^2+a^2]^2} [/tex] Останалото е таблично и можеш да направиш бърза справка тук: http://www.math10.com/en/university-math/integrals/1bg.html

Сега като го гледах пак, ти точно това си направил само че, както ганка симеонова уточни, х=t-1/2 ти трябва за да достигнеш до тази форма.

[ганка симеонова]

Фери, коя част при интегрирането на първия интеграл те затруднява?

[stflyfisher]

[ганка симеонова]

Раздели интеграла, който си получил на два
[tex]\int_{}^{ } \frac{tdt}{ (t^2+\frac{3}{4 } )^2 }dt - 2\int_{}^{ }\frac{\frac{3}{ 4} }{ (t^2+\frac{3}{4 } )^2 } dt [/tex]
първият знам, че можеш да го решиш. да се заемем с втория
[tex]\int_{}^{ } \frac{(t^2+\frac{3}{4 })-t^2}{(t^2+\frac{3}{4 } )^2 }dt [/tex]
Инего горазделяме на два. Първият от тези също можеш да решиш. Аз ще реша втория.
[tex]\int_{}^{ } \frac{t.t}{ (t^2+\frac{3}{4 } )^2 } =\frac{1}{ 2} \int_{}^{ } \frac{t}{(t^2+\frac{3}{4 } )^2 }d(t^2 +\frac{3}{4 })=-\frac{1}{ 2} \int_{}^{ } td\frac{1}{t^2+\frac{3}{4} } [/tex]
Сега остава само по части и си готов.

[stflyfisher]

[tex]= \int \frac{t-\frac{3}{2}}{(t^2+t+\frac{1}{4}-t-\frac{1}{2}+1)^2}dt=[/tex]

[tex] = \int \frac{t-\frac{3}{2}}{(t^2+\frac{3}{4})^2}dt=[/tex]

[tex] = \int \frac{t}{(t^2+\frac{3}{4})^2}dt+ \int \frac{-\frac{3}{2}}{(t^2+\frac{3}{4})^2}dt=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2}\int \frac{1}{(t^2+\frac{3}{4})^2}d(t^2)-\frac{3}{2}\int \frac{1}{(t^2+\frac{3}{4})^2}dt=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2}\int \frac{1}{(t^2+\frac{3}{4})^2}d(t^2+\frac{3}{4})-\frac{2.3}{2.2}\int \frac{1}{(t^2+\frac{3}{4})^2}dt=[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\int(t^2+\frac{3}{4})^{-2}d(t^2+\frac{3}{4})-2\int \frac{\frac{3}{4}}{(t^2+\frac{3}{4})^2}dt=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2}\frac{(t^2+\frac{3}{4})^{-2+1}}{-2+1}-2\int \frac{t^2+\frac{3}{4}-t^2}{(t^2+\frac{3}{4})^2}dt=...[/tex]
е изпреварили са ме

[ferry2]

Знаех, че нещо ми убягва. И аз разделих интеграла на два, но не се сетих да умножа и разделя на 2! Благодаря ви много!

[ганка симеонова]

За тебе винаги, Фери