Неопределени Интеграли

Интеграли - 1 част
Интеграли - 2 част
Интеграли - 3 част
Интеграли - 4 част

Определение за неопределен интеграл

Ако $\frac{dy}{dx}=f(x)$ ,то y е функция, чиято производна е f(x) и се нарича анти-производна на f(x) или неопределен интеграл на f(x), бележи се с ∫f(x) dx. Също така, ако y = ∫f(u) du, то $\frac{dy}{du}=f(u)$ . След като производната на константа е нула, всички неопрелени интеграли се различават по константа.

Процесът на намиране на интеграл се нарича интегриране.

Основни правила на Интегрирането

u, v , w са функции на x; a, b, p, q, n са някакви константи, ограничени по дефиниция; e = 2.71828... е натурална основа на логаритмите; ln u представлява натурален логаритъм на u, където се смята, че u > 0 [по принцип, за да разширите формули до случая, където u > 0, сменете ln u с ln |u|]; всички ъгли са в радиани; всички константи при интегрирането се изпускат, но се прилагат.

∫ a dx = ax

∫ af(x) = a ∫ f(x) dx

∫ (u ± v ± w ± ....)dx = ∫ u dx ± ∫ v dx ± ∫ w dx ± ....

∫ u dv = u.v - ∫ v du [Интегриране по части].

$\int_{}^{}f(ax)dx=\frac{1}{a}.\int_{}^{}f(u)du$

$\int_{}^{}F[f(x)]dx=\int_{}^{}[F(u)\frac{dx}{du}]du=\int_{}^{}\frac{F(u)}{f'(x)}du$ where u = f(x).

$\int_{}^{}u^ndu=\frac{u^{n+1}}{n+1}$ ; n ≠ -1. [За n = -1, see 14.8]

$\int_{}^{}\frac{du}{u}=lnu=ln|u|$ ; if u > 0 or ln(-u) if u < 0.

∫ e^u du = e^u

$\int_{}^{}a^udu=\int_{}^{}e^{u.lna}du=\int_{}^{}\frac{e^{u.lna}}{lna}=\frac{a^u}{lna }$ ; a > 0, a ≠ 1.

∫ sin u du = - cos u

∫ cos u du = sin u

∫ tan u du = ln sec u = - ln cos u

∫ cot u du = ln sin u

∫ sec u du = ln (sec u + tan u) = ln tan [(2u + π)/4]

∫ csc u du = ln (csc u - cot u) = ln tan (u/2)

∫ sec² u du = tan u

∫ csc² u du = - cot u

∫ tan² u du = tan u - u

∫ cot² u du = - cot u - u

$\int_{}^{}sin^2udu=\frac{u}{2}-\frac{sin2u}{4}=\frac{u-sinu.cosu}{2}$

$\int_{}^{}cos^2udu=\frac{u}{2}+\frac{sin2u}{4}=\frac{u+sinu.cosu}{2}$

∫ sec u.tan u du = sec u

∫ csc u.cot u du = - csc u

∫ sinh u du = cosh u

∫ cosh u du = sinh u

∫ tanh u du = ln cosh u

∫ coth u du = ln sinh u

∫ sech u du = sin^-1(tanh u) или 2tan^-1.e^u

∫ csch u du = ln tanh(u/2) или - coth^-1.e^u

∫ sech² u du = tanh u

∫ csch² u du = - coth u

∫ tanh² u du = u - tanh u

∫ coth² u du = u - coth u

$\int_{}^{}sinh^2udu=\frac{sinh2u}{4}-\frac{u}{2}=\frac{sinhu.coshu-u}{2}$

$\int_{}^{}cosh^2udu=\frac{sinh2u}{4}+\frac{u}{2}=\frac{sinhu.coshu+u}{2}$

∫ sech u.tanh u du = - sech u

∫ csch u.coth u du = - csch u

Това се нарича общо интегриране по части.

Важни Трансформации

Често в практитиката интеграл може да бъде опростен като се използва подходяща трансформация или субституция или формула 14.6. Следния списък ви дава някои от трансформациите и резултата от тях.

$\int_{}^{}F(ax+b)dx=\frac{1}{a}.\int_{}^{}F(u)du$ където u = ax + b

$\int_{}^{}F(\sqrt{ax+b})dx=\frac{2}{a}.\int_{}^{}u.F(u)du$ където u = √ax + b

∫ F(√a² - x²) dx = a∫ F(a.cos u).cos u du където x = a.sin u

∫ F(√x² + a²) dx = a∫ F(a.sec u).sec² u du където x = a.tan u

∫ F(√x² - a²) dx = a∫ F(a.tan u).sec u.tan u du където x = a.sec u

$\int_{}^{}F(e^{ax})dx=\frac{1}{a}.\int_{}^{}\frac{F(u)}{u}du$ където u = e^ax

∫ F(ln x) dx = ∫ F(u).e^u du където u = ln x

∫ F(sin^-1(x/a)) dx = a∫ F(u).cos u du където u = sin^-1(x/a)
Подобни резултати се прилагат за обратни тригонометрични функции.

∫ F(sin x, cos x) dx = 2

Интеграли съдържащи ax + b

Интеграли Съдържащи √ax + b

Интеграли Съдържащи ax + b и px + q

Интеграли Съдържащи √ax + b и px + q

Интеграли Съдържащи √ax + b и √px + q

Интеграли Съдържащи x² + a²

Интеграли Съдържащи x² - a², x² > a²

Интеграли Съдържащи a² - x², x² < a²

Интеграли Съдържащи √x² + a²

Интеграли Съдържащи √x² - a²

Интеграли Съдържащи √a² - x²

Интеграли Съдържащи ax² + bx + c

Ако b² = 4ac, ax² + bx + c = a(x + b/2a)². Ако b = 0 използвайте резултатите от страница 64. Ако a или c = 0 използвайте резултатите на страниците 60-61.

Интеграли Съдържащи √ax² + bx + c

В долните резултати, ако b² = 4ac, √ax² + bx + c = √a(x + b/2a) може да бъдат използвани и резултатите на страници 60-61. Ако b = 0 използванйте резултатите от страници 67-70. Ако a = 0 или c = 0 използвайте реазултатите на страници 61-62.