Задачи - авторски предложения

[Мирослав Стоенчев]

Нека в тази тема всеки участник във форума записва условия на задачи които той е съставил. В началото на всяка седмица най-интересното предложение ще бъде публикувано на главната страница на сайта. Необходимо е задачите да са от следните области: Алгебра, Геометрия, Теория на Числата, Комбинаторика.

[Реклама]

[Titu_Andrescu]

Да се намерят всички естествени числа [tex]n[/tex], за които неравенството [tex]ab^n+bc^n+ca^n+abc\le 4[/tex] е изпълнено за всички положителни реални числа [tex]a,b,c[/tex], за които [tex]a+b+c=3[/tex].

[estoyanovvd]

Трите отсечки се пресичат в точка Т, както е на чертежа!

[ins-]

Условие и решение има в прикачения файл. Бях предложил задачата за НОМ но не беше одобрена ... кой знае, може олимпийците да са имали късмет

[martosss]

[ins-]

Имаш ли по-малко решение?

[martosss]

Не, за съжаление нямам, някъде го изгубих докато се разхождах

[ins-]

По между другото задачата е пускана тук и никой не успя да я реши дълго време ...

[martosss]

Лош подход! Няма стимул.. ако кажеш, че който я реши получава една баничка(или баница, за да звучи по-голямо ) с боза, то веднага щяха да са навъртят мераклии

П.П. Стига сме спамили... Браво за решението... и за задачата... ще я дам на мойта даскалка да видя кво ще измисли

[ins-]

Или аз греша, или задачата на седмицата не е променяна повече от 1 седмица.

[estoyanovvd]

[ins-]

Случая, за който е опровергана е с тъпоъгълен триъгълник, но ако го погледнеш внимателно ще видиш, че има уловка - човека замества със стойности, с които не е сигурно, че геометричната ситуация е определена. В решението се доказва, че триъгълник с посочените свойства не може да е тъпоъгълен. Решението съм го гледал много пъти и е 99,99 % сигурно, че не е грешно. Прочети го внимателно. Ако нещо не ти е ясно - питай.

[alf2003]

Едно съмнение гризе дървената ми глава - дали да не опитаме да решим задачата, като построим описаната около данения триъгълник окръжност?

[ins-]

Не знам - аз опитвах, но не успях ... може да се атакува с инверсия, тригонометрия, вписани ъгли и други подходи ... поне това ми дойде наум ... друг подход е да се използват неравенства между страните на триъгълника и допълнителни леми.

[ins-]

явно на предложената от мен задача няма да видим друго решение...
Геометричната задача на estoyanovvd изглежда интересна, чудя се само как се доказва...

[Spider Iovkov]

[tex]\sqrt{x-6}+log_{2}(x-3)+\frac{1}{log_{x-1}3-log_{4}(x-3)}+\frac{(x-2)^{-1}}{(x^2-2x)^{-1}+2}=\frac{log_{x}(x+3)}{\sqrt{x-1}+x-2}:\frac{1}{x-6+\frac{log_{2}x}{log_{4}x^2}}[/tex]

[nikolavp]

[Pinetop Smith]

В четириъгълник ABCD е вписана окръжност, която се допира до АВ, ВС, CD и DA съответно в точки К, L, M и N. Нека [tex]CK \cap AL = P[/tex], [tex]NL \cap MK = Q[/tex] и [tex]CN \cap AM = R[/tex]. Да се докаже, че точките P, Q и R лежат на една права.

[ins-]

Николай.Каракехайов, много здрава геометрична задача! Браво! Ти ли я състави?
Като цяло геометричните задачи, които виждам тук са по-добри от тези на математическите конкурси ... не знам дали и другите споделят моето мнение, но за съжаление рядко се виждат решенията им.

[Pinetop Smith]

Благодаря

[Пафнутий]

Ники, браво за задачата Тя е директно следствие от теоремата на Брианшон, качена на сайта

[estoyanovvd]

Една подсказка! Докажете, че KM и LN се пресичат в пресечната точка на диагоналите! Другото после.

[Pinetop Smith]

Точно! Сега се опитвам да я реша и по друг начин(но не става )

[Пафнутий]

И ти си използвал теоремата на Брианшон, нали?

[Pinetop Smith]

Разбира се

[martosss]

А може ли да дадете линк към тази теорема на Бианшон ?

[Pinetop Smith]

Aко в 6-ъг. ABCDEF може да се впише окр., то AD, ВЕ и CF се прес. в 1 т.

http://www.math10.com/bg/olimpiadi/lekcii-po-geometria/lekcii_geometriq.html

[martosss]

Благодаря

[estoyanovvd]

Хайде да докажем все пак, че КМ и LN се пресичат в пресечната точка на диагоналите на четириъгълника, защото не вярвам някой на състезание или изпит да приеме това на готово, като следствие от теоремата на Брианшон!


[tex] \frac{S_{AKT}}{ S_{CMT}} = \frac{AK.KT}{CM.MT }=\frac{AT.KT}{CT.MT }[/tex],

т.е [tex]\frac{AK}{ CM}=\frac{AT}{CT } [/tex].

Аналогично, ако LN пресича АС в точка [tex]T_{1}[/tex], то

[tex]\frac{AT_{1}}{T_{1}C } =\frac{AN}{ CL} [/tex]. Но AN=AK, CM=CL, откъдето

[tex] T\equiv T_{1}[/tex], а от там следва, че KM и LN се пресичат върху AC. Аналогично следва, че те се пресичат и върху DB, откъдето пък получаваме, че пресечните точки съвпадат. Надявам се да съм бил ясен. Е, при лицата има едни синуси и двойки в знаменателите, които се съкращават, но предполагам, че ще се сетите!

[Мирослав Стоенчев]

Предложение за Задача 8.


Задача. [tex]ABCD[/tex] е четириъгълник с полупериметър [tex]p,[/tex] който е вписан в окръжност [tex]k(O,R)[/tex] и описан около окръжност [tex]w(I,r).[/tex]

Да се докаже, че [tex] p\le 2\sqrt{R^2-r^2+r\sqrt{4R^2+r^2}}.[/tex]