Задача 26

[krainik]

Дадени са три окръжности [tex]w_{1},w_{2},w_{3}[/tex], които имат 2 общи пресечни точки - [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex]. Дадени са две точки [tex]C_{1},D_{1}[/tex] на [tex]w_{1}[/tex].Нека [tex]C_{2}[/tex] да лежи на [tex]AC_{1}[/tex], така че [tex]AC_{1}.AC_{2}=1[/tex], a [tex]D_{2}\in AD_{1}[/tex], така че [tex]C_{1}D_{1}D_{2}C_{2}[/tex]- вписан. Аналогично дефинираме [tex]E_{1},E_{2},F_{1},F_{2}[/tex] за [tex]w_{2}[/tex] и [tex]G_{1},G_{2},H_{1},H_{2}[/tex] за [tex]w_{3}[/tex]. Да се докаже [tex]AB,C_{2}D_{2},E_{2}F_{2},G_{2}H_{2}[/tex] се пресичат в 1 точка.
(задачата е от Shaastra 09 )

[Реклама]

[Todor_d1]

ще докажа само за AB, [tex]C_{2}D_{2}[/tex], [tex]E_{2}F_{2}[/tex], аналогично може да се докаже и за другата.

1)
ON перпендикуляр и медиана към AC.
[tex]\angle C_{1}D_{1}A[/tex] = [tex]\angle AC_{2}D_{2}[/tex] (сбора на срещуположните ъгли на вписан чет. 180)
[tex]\angle NOA[/tex] = [tex]\angle C_{1}D_{1}A[/tex] = [tex]\angle AC_{2}D_{2}[/tex]
=> [tex]\Delta C_{2}P_{1}A[/tex] [tex]\approx[/tex] [tex]\Delta NOA[/tex] => [tex] C_{2}M \bot OA[/tex]

2) [tex]\Delta AP_{1}T [/tex] [tex]\approx[/tex] [tex]\Delta AMO[/tex] (два равни ъгъла)
=> [tex]\frac{AT}{AP_{1}}=\frac{AO}{AM}[/tex] или [tex]\frac{AT}{AP_{1}}=\frac{R}{AM}[/tex] => AT=[tex]\frac{R.AP_{1}}{AM} [/tex]
но от подобието на [tex]\Delta C_{2}P_{1}A[/tex] и [tex]\Delta NOA[/tex]
[tex]AP_{1}=\frac{AN.AC_{2}}{AO}[/tex] или [tex]AP_{1}=\frac{x.1}{2.x.R}[/tex]=[tex]\frac{1}{2R } [/tex]
=>AT=[tex]\frac{1}{2.AM } [/tex]

Aналогично и за другата окръжност се доказва, че [tex]AT_{1}[/tex] е равно на същото, а АМ е 1/2 AB.

[didistingone]

В крайна сметка вярно ли е решението ?

[krainik]

Тия дни съм доста зает. Като имам повече свободно време ще видя решението на задачата.

[krainik]

Решението ми хареса. Има една грешка(техническа). Написал си [tex]C_{2}M\bot OA[/tex] , а си имал предвид [tex]C_{2}P_{1}\bot OA[/tex]. Интересното е, че по този начин доказваш задачата и в останалите случаи- когато [tex]C_{2},D_{2}[/tex] и [tex]E_{2},F_{2}[/tex] са външни за [tex]w_{1}[/tex] и [tex]w_{2}[/tex] и когато едната двойка е вътрешна, а др-та външна. Браво!

[Todor_d1]

Да сори! Объркал съм се от собствения си чертеж който е малко сгъчкан - всъщност съм имал предвид [tex]C_{2}D_{2}[/tex]