УАСГ 1999 г.

[mi6ella]

Дадена е правилна триъгълна призма АВСА₁В₁С₁,на която всички ръбове са равни.Върху околният ръб ВВ₁ е взета точка М така , че ВМ/ВВ₁=λ ( 0 ≤λ≤1 ) . През А,М и С₁ е прекарана равнина , която дели призматана многостените с върхове АМА₁В₁С₁ и АВСМС₁, които имат обеми съответно V₁ и V₂ ;
a) има ли стойност на λ, за която е изпълнено неравенството V₁=V₂;
б) изразете V₁/V₂ като функция на λ и намерете НГС и НМС на тази функция;
в) нека θ е двустенният ъгъл между равнините АМС₁ и АВС.Изразете tgθ посредствам λ и докажете, че θ≥П/4

[Реклама]

[naitsirk]

[tex]V_1=\frac{\sqrt{3}a^3(2-\lambda ) }{12 } [/tex]
[tex]V_2=\frac{\sqrt{3}a^3(1+\lambda ) }{12 } [/tex]
[tex]V_1=V_2[/tex] <=> [tex]2-\lambda =1+\lambda [/tex] <=> [tex]\lambda =\frac{1}{ 2} \in [0;1][/tex]
[tex]f(\lambda )=\frac{V_1}{V_2 } =\frac{2-\lambda }{1+\lambda } [/tex]
[tex]f'=\frac{-3}{(1+\lambda)^2 } [/tex], [tex]\lambda \in [0;1][/tex] =>
[tex]f_{min}=f(1)=\frac{1}{2 } [/tex], [tex]f_{max}=f(0)=2[/tex]
[tex]tg\theta=\frac{2}{\sqrt{3} }\sqrt{\lambda ^2-\lambda +1} [/tex]
[tex]min->\lambda =\frac{1}{2 } [/tex]
[tex]tg\theta\ge tg\theta_{min}=\frac{2}{\sqrt{3} }\sqrt{(\frac{1}{2 } )^2-\frac{1}{2 } +1}=1[/tex] => [tex]tg\theta\ge tg\frac{\pi }{4 } [/tex] => [tex]\theta\ge \frac{\pi }{4 } [/tex]