катети

[ганка симеонова]

Да се докаже, че ако дължините на страните на правоъгълен триъгълник се изразяват в цели числа,
то произведението от дължините на катетите се дели на 12.

[Реклама]

[estoyanovvd]

Достатъчно е да докажем, че [tex]2u.v.(u-v).(u+v)[/tex]където u и v са взаимно прости числа, се дели на дванадесет. До този извод се достига като се разгледат решенията на уравнението [tex]x^{2}+y^{2}=z^{2}[/tex].

[estoyanovvd]

Което се доказва лесно. Ако и двете са нечетни, то разликата и сборът се делят на две, а значи и на четири. Ако едното е четно, то отново целият израз се дели на четири.
Остава да покажем, че произведението се дели и на три. Това се установява, като разгледаме случаите за възможните представяния на числата във вида 3k, 3k+1 и 3k-1.

[ганка симеонова]

Задачата става лесна, като съобразим, че ако едно число е квадрат на цяло число, при делението с 3 дава остатък 0 или 1. същото се отнася и за делението на 4.

[estoyanovvd]

эа кое число става дума?

[Пафнутий]

За всяко цяло число [tex]a^2\equiv 0,1 (mod 3)[/tex] и [tex]a^2\equiv 0,1 (mod 4) [/tex]

[estoyanovvd]

Това е от ясно по-ясно! Питам къде в задачата има [tex]a^{2}[/tex]?
Нали става въпрос за произведението [tex]a.b[/tex]?

[estoyanovvd]

Пък и все пак, за моето решение ли става въпрос или за друго?

[ганка симеонова]

[tex]a^2+b^2=c^2 [/tex] ;[tex] a, b, c, a^2, b^2, c^2 [/tex]са цели числа
Както казахме квадрат на цяло число при деление на 3, съответно 4 дава остатък 0 или 1=>Ако [tex]c^2[/tex] дава остатък 0=>а и b се делят на 3. Ако с дава остатък 1=> поне едно от а или b се дели на 3. Аналогично поне едно от тях се дели на 4=>аb се дели на 12.
Аз поне така разсъждавам, но ако някъде греша, моля да бъда поправена

[estoyanovvd]

Вярно разсъждаваш(Извинявам се, но не забелязах че четворката не върши работа!!!). Но и моето решение също става, нали?

[Пафнутий]

Става, разбира се Използваш примитивни питагорови тройки, нали?

[dim]

[tex]t^2=0,1,4(mod5)[/tex] - С това пък може да докажем, че поне една страна (примерно хипотенузата ), се дели на 5. И понеже [tex](12,5)=1[/tex], можем да докажем, че произведението на всички страни винаги се дели на 60.

[r2d2]

Г-н Стоянов,

Във вашето решение използвате факта, че числата m^2- n^2; 2mn ; m^2+n^2, където m и n са взаимно прости образуват примитивна питагорова тройка.

Това, което липсва (и не е очевидно - поне според мен) е, че всички примитивни питагорови тройки имат това представяне!

[b1ck0]

Нека имаме правоъгълен триъгълник със страни 3,4 и 5 (мисля че няма правоъгълен триъгълник с по-малки страни от този, които да са цели/естествени/ числа). Произведението от кактетите на този триъгълник е 12, което се дели на 12. Ако увеличим страните на този триъгълник с m и n ще получим катети 3+m и 4+n чието произведение е:

[tex] (3+m)(4+n) = 3(1+\frac{m}{3})4(1+\frac{n}{4}) = 3.4(1+\frac{m}{3})(1+\frac{n}{4}) [/tex], което също се дели на 12 ....

[dim]

[ганка симеонова]

[dim]

Това е ясно. Ако при делене на 4, c² дава остатък 1, значи 4|a ² или 4|b², от което следва 2|a или 2|b. Това което не разбирам е как доказвате, че (цитирам)"поне едно от тях(става въпрос за a и b) се дели на 4". Примерно 4|6², но 4 не дели 6. Става въпрос, че логиката, по която доказваме че a или b се дели на 3, не можем да приложим за 4. Не можем да заключим че аналогично поне един от катетите се дели на 4. Иначе, тия схеми с остатъците са ми ясни.( (2к+1)²≡1(mod4) )

ПП. По повод на забележката, която ми направихте-изглежда може би съм чел по-внимателно.

[b1ck0]

Моя пост не се ли вижда ... ?

[NoThanks]

[b1ck0]

[dim]

[estoyanovvd]

[estoyanovvd]

А dim е абсолютно прав, че четворката не върши работа. Точно сравнение по модул 8 дава правилното решение, но трябва да разсъждаваме първо за хипотенузата и от там за катетите. Просто го е обяснил в обратната посока и може би за това някои се бъркат.

[ганка симеонова]