моделиране на задача с диференчно уравнение

[avmarinov]

kak da re6a slednata zada4a:
Pri otkrivaneto na supermarket toi zavladqva 25% ot jitelite na kvartala.Vsqka sledva6ta godina gubi 20% ot klinetite si , no privli4a 10% ot ostanalite.Kakav % klienti ot kvartala 6te privle4e magazina sled izvesten period ot vreme?
Upatvane:da se re6i 4rez granica na funkciq ili diferen4no uravnenie ot 1 red.Vseki period zavisi ot predhodniq.

[Реклама]

[Infernum]

Това е една много интересна задача според мен.

Решение:

Нека х означава броя на жителите в квартала.

По условие клиентите при откриването са 25% от жителите на квартала.
Нека те са y₀=25/100*x

Останалите жители неклиенти са: x-y₀

След първата година, клиенитите са намалели с 20% и са се увеличили с 10% от останалите жители на квартала. Нека броя на клиенитите след първата година е y₁. Останалите неклиенти са x-y₁

Тогава по условие: y₁=y₀-20/100*y₀+10/100*(x-y₀)

След втората година, клиенитите отново са намалели с 20% и също така са се увеличили с 10% от останалите жители (неклиенти) на квартала. Ако броя на клиенитите след втората година е y₂, то:
y₂=y₁-20/100*y₁+10/100*(x-y₁)


Следвайки така намерената итерационна схема за k+1 вата година имаш:
y_k+1=y_k-20/100*y_k+10/100*(x-y_k)
Като го преобразуваш малко получаваш:

(*) y_k+1-7/10*y_k=x/10

Полученото равенство представлява нехомогенно рекурентно уравнение от първи ред с начално условие y₀=25/100*x=x/4

Ето как го решаваш:

Взимаш си първо съответното хомогенно уравнение, то е:

(**) y_k+1-7/10*y_k=0

Характеристичното му уравнение е:
t-7/10=0
Тогава всяка от множеството на числовите редици с общ член:
y_n=C₁*(7/10)ⁿ, където C₁=const
е решение на хомогенното уравнение (**).
Тъй като изходното уравнение (*) е нехомогенно, то неговото решение представлява сума от общото решение на съответното хомогенно уравнение и едно частно решение.
Сега трябва да се определи едно частно решение.
Тъй като в дясната страна на (*) имаш число, а не функция на n, то частното решение трябва да е от същия вид, т.е. трябва да бъде константа.
Нека това частно решение е Y_n=C₂=const. То трябва да се намери. Това става, като заместиш това решение в (*).
Получаваш:

C₂-7/10*C₂=x/10
Тогава C₂=x/3

Значи решение на (*) е всяка от числовите редици с общ член:
y_n=C₁*(7/10)ⁿ+x/3
От това множество, трябва да се отдели онази числова редица, която удовлетворява началното условие y₀=25/100x=x/4, т.е. да се определи константата C₁.
Заместваш в полученото решение n=0.
Получаваш:
y₀=C₁*(7/10)⁰+x/3
От началното условие имаш y₀=25/100*x=x/4.
Тогава:
x/4=C₁+x/3, откъдето C₁=-x/12

Окончателно:

y_n=-x/12*(7/10)ⁿ+x/3

e единственото решение на (*), удовлетворяващо посоченото начално условие.
То дава броя на клиенитите след n-тата година.

Вече не е трудно да се определи и търсеният процент.
Той е:
p=100*y_n/x
или

p=100/3-100/12*(7/10)ⁿ.

[Infernum]

Интересното тук е, че с течение на времето (n-> infinity), броят на клиентите клони към една трета от общия брой жители на квартала, започвайки от една четвърт от тях.

[Infernum]

Ето и още едно решение, заобикалящо теоретичният апарат на рекурентните и диференчни уравнения.

Отново въвеждаш означенията:
y₀-начален брой на клиентите като част от общия брой жители на квартала
y_k-брой на клиентите, като част от общия брой жители на квартала след к-тата година.

Съгласно условието на задачата имаш:

y₁=x/4-1/5*x/4+1/10*(x-x/4)=x/4*(1-1/5-1/10)+x/10=
=7/10*x/4+x/10

y₂=(7/10*x/4+x/10)-1/5*(7/10*x/4+x/10)+1/10*[x-(7/10*x/4+x/10)]=
=(1-1/5-1/10)*(7/10*x/4+x/10)+x/10=
=(7/10)²*x/4+7/10*x/10+x/10

y₂=(1-1/5-1/10)*[(7/10)²*x/4+7/10*x/10+x/10]+x/10=
=(7/10)³*x/4+(7/10)²*x/10+7/10*x/10+x/10
.............................................................


y_k=(7/10)^k*x/4+(7/10)^k-1*x/10+...+7/10*x/10+x/10=
=(7/10)^k*x/4+x/10*[1+(7/10)¹+...+(7/10)^k-1]=
=(7/10)^k*x/4+x/10*[((7/10)^k-1)/(7/10-1)]=
=(7/10)^k*(x/4-x/3)+x/3=-x/12*(7/10)^k+x/3

Очевидно, този отговор съвпада с отговорът получен при решаване на съставеното рекурентно уравнение.

Търсеният процент се пресмята по същия начин както в предното решение.