Analytic geometry proof with triangle

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Point D divides side AC, of triangle ABC, so that |AD|: |DC| = 1:2. Prove that vectors [tex]\vec{BD}[/tex] = 2/3 [tex]\vec{BA}[/tex] + 1/3 [tex]\vec{BC}[/tex].

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[tex]\vec{BD}[/tex]=[tex]\vec{BA}[/tex]+[tex]\vec{AD}[/tex]=

=[tex]\vec{BA}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{AC}[/tex]=

=[tex]\vec{BA}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}[/tex]([tex]\vec{AB}[/tex]+[tex]\vec{BC}[/tex])=

=[tex]\vec{BA}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{AB}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{BC}[/tex]=

=[tex]\vec{BA}[/tex]-[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{BA}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{BC}[/tex]=

=(1-[tex]\frac{1}{3}[/tex])[tex]\vec{BA}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{BC}[/tex]=

=[tex]\frac{2}{3}[/tex][tex]\vec{BA}[/tex]+[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{BC}[/tex]