инт. задачка

[bubo]

Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 1, а медицентра лежи на вписаната окръжност. Да се намери периметърът на триъгълника.

тука има нещо дето немога да се сета иначе май не е мн трудна

[Реклама]

[krainik]

[NoThanks]

Означаваме [tex]\angle{BAC}=\alpha => \angle{MCL}=45-\alpha[/tex] Изнасяме [tex]\Delta{IGC}[/tex] В него [tex]IC=r\sqrt{2} \; IG=r\; CG=\frac{1}{3}[/tex]
Oт ABC имаме [tex]sin \alpha = a \; cos\alpha = b[/tex] От CIG [tex]cos( \alpha - 45) = \frac{9r^2+1}{6r\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha) => \frac{9r^2+1}{6r} = b+a = 2p -c = 2p-1 [/tex] Но [tex]r=p-c = p-1 => \frac{9r^2+1}{6r} = p+r => r^2-2pr+\frac{1}{3}=0[/tex] =>[tex]r=p-\sqrt{p^2-\frac{1}{3}}=p-1 => p=\frac{2\sqrt{3}}{3} => P=\frac{4\sqrt{3}}{3}[/tex]